Giải Bài 2.3 trang 34 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Lập mô hình bài toán.

Gọi $x$ là số đơn vị hợp chất X và $y$ là số đơn vị hợp chất Y nhà máy sản xuất trong một tuần $(x \ge 0,\ y \ge 0)$.

Điều kiện về khí thải.

- Lượng khí CO thải ra: $2x + 4y$ (dm$^3$), không quá $3\,000$ dm$^3$ nên $2x + 4y \le 3000$, tức $x + 2y \le 1500$.
- Lượng khí SO$_2$ thải ra: $6x + 3y$ (dm$^3$), không quá $5\,400$ dm$^3$ nên $6x + 3y \le 5400$, tức $2x + y \le 1800$.

Vậy $(x;y)$ thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
$$\begin{cases} x + 2y \le 1500 \\ 2x + y \le 1800 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Hàm lợi nhuận. Lợi nhuận (đồng) thu được là
$$F(x;y) = 36000x + 24000y.$$

Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ trên miền nghiệm của hệ trên.

Xác định miền nghiệm (miền đa giác).

Miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với các đỉnh:

- $O(0;0)$.
- $A(900;0)$: giao của $y = 0$ với $2x + y = 1800$ (vì với $y=0$ thì $x \le 900$ chặt hơn $x \le 1500$).
- $B(700;400)$: giao của hai đường $x + 2y = 1500$ và $2x + y = 1800$.

Giải hệ: từ $x + 2y = 1500 \Rightarrow x = 1500 - 2y$; thay vào $2x + y = 1800$ được $2(1500 - 2y) + y = 1800 \Leftrightarrow 3000 - 3y = 1800 \Leftrightarrow y = 400$, suy ra $x = 700$.
- $C(0;750)$: giao của $x = 0$ với $x + 2y = 1500$ (vì với $x=0$ thì $y \le 750$ chặt hơn $y \le 1800$).

Tìm giá trị lớn nhất. Vì $F(x;y)$ là biểu thức bậc nhất nên đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của miền đa giác. Ta tính:

| Đỉnh | $F = 36000x + 24000y$ |
|---|---|
| $O(0;0)$ | $0$ |
| $A(900;0)$ | $36000 \cdot 900 = 32\,400\,000$ |
| $B(700;400)$ | $36000 \cdot 700 + 24000 \cdot 400 = 25\,200\,000 + 9\,600\,000 = 34\,800\,000$ |
| $C(0;750)$ | $24000 \cdot 750 = 18\,000\,000$ |

Giá trị lớn nhất là $F = 34\,800\,000$ đồng, đạt được tại $B(700;400)$.

Kiểm tra lại. Với $x = 700,\ y = 400$:

- Khí CO: $2 \cdot 700 + 4 \cdot 400 = 1400 + 1600 = 3000 \le 3000$ (dm$^3$) — thỏa mãn.
- Khí SO$_2$: $6 \cdot 700 + 3 \cdot 400 = 4200 + 1200 = 5400 \le 5400$ (dm$^3$) — thỏa mãn.

Kết luận. Mỗi tuần nhà máy nên sản xuất $700$ đơn vị hợp chất X và $400$ đơn vị hợp chất Y để thu được lợi nhuận cao nhất là $34\,800\,000$ đồng mà vẫn đảm bảo yêu cầu về khí thải môi trường.

Đáp số