Giải Bài 2.1 trang 33 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Chọn ẩn và lập các ràng buộc.

Gọi $x$ là số bàn hình chữ nhật (6 chỗ, giá 200 nghìn đồng) và $y$ là số bàn tròn (10 chỗ, giá 300 nghìn đồng) mà anh Nam thuê. Ta có $x,\,y$ là các số nguyên không âm.

Các yêu cầu của bài toán cho ta:

- Đủ chỗ cho 250 khách: $6x+10y\ge 250 \Leftrightarrow 3x+5y\ge 125$.
- Phòng chứa tối đa 35 bàn: $x+y\le 35$.
- Chỉ có 15 bàn hình chữ nhật: $0\le x\le 15$.
- Số bàn tròn không âm: $y\ge 0$.

Vậy hệ ràng buộc là
$$\begin{cases} 3x+5y\ge 125\\ x+y\le 35\\ 0\le x\le 15\\ y\ge 0 \end{cases}$$

Bước 2. Hàm mục tiêu.

Tổng chi phí thuê bàn (đơn vị: nghìn đồng) là
$$F(x;y)=200x+300y \to \min.$$

Bước 3. Xác định miền nghiệm và các đỉnh.

Miền nghiệm của hệ là một miền đa giác (miền kín) có các đỉnh là giao điểm của các đường biên:

- $A(0;25)$: giao của $x=0$ và $3x+5y=125$.
- $B(15;16)$: giao của $x=15$ và $3x+5y=125$ (vì $45+5y=125\Rightarrow y=16$).
- $C(15;20)$: giao của $x=15$ và $x+y=35$.
- $D(0;35)$: giao của $x=0$ và $x+y=35$.

(Kiểm tra: mọi đỉnh đều thỏa mãn hệ ràng buộc.)

Bước 4. Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh.

- $F(A)=200\cdot 0+300\cdot 25 = 7\,500$.
- $F(B)=200\cdot 15+300\cdot 16 = 3\,000+4\,800 = 7\,800$.
- $F(C)=200\cdot 15+300\cdot 20 = 3\,000+6\,000 = 9\,000$.
- $F(D)=200\cdot 0+300\cdot 35 = 10\,500$.

Vì $F$ là biểu thức bậc nhất nên giá trị nhỏ nhất đạt tại một đỉnh của miền. So sánh, ta được
$$\min F = F(A)=7\,500 \text{ (nghìn đồng)} \text{ tại } x=0,\ y=25.$$

Bước 5. Kiểm tra lại đáp số.

Với $x=0,\ y=25$: số chỗ ngồi $6\cdot 0+10\cdot 25=250$ (đủ 250 khách); số bàn $0+25=25\le 35$ (phòng chứa được); $0\le 0\le 15$ và $25\ge 0$ đều thỏa mãn. Chi phí $= 25\cdot 300 = 7\,500$ nghìn đồng $=7\,500\,000$ đồng, đúng bằng giá trị nhỏ nhất tìm được.

Kết luận. Anh Nam nên thuê 0 bàn hình chữ nhật và 25 bàn tròn; khi đó chi phí thuê bàn nhỏ nhất là 7 500 nghìn đồng $=7\,500\,000$ đồng.

Đáp số