Giải Vận dụng trang 33 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Lập mô hình toán học.

Gọi $x$ là số tạ phân loại X, $y$ là số tạ phân loại Y cần mua $(x \ge 0,\ y \ge 0)$.

- Lượng đạm thu được: $3x + 6y$ (đơn vị), cần ít nhất 18 đơn vị nên $3x + 6y \ge 18$, tức $x + 2y \ge 6$.
- Lượng phosphate thu được: $2x + y$ (đơn vị), cần ít nhất 6 đơn vị nên $2x + y \ge 6$.

Chi phí phải trả (triệu đồng): $F = 1{,}7x + 1{,}2y$.

Bài toán trở thành: tìm $x, y$ thỏa mãn hệ ràng buộc
$$\begin{cases} x + 2y \ge 6 \\ 2x + y \ge 6 \\ x \ge 0,\ y \ge 0 \end{cases}$$
sao cho $F = 1{,}7x + 1{,}2y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bước 2. Xác định miền nghiệm và các đỉnh.

Miền nghiệm của hệ là miền không bị chặn nằm phía trên các đường thẳng $d_1: x + 2y = 6$ và $d_2: 2x + y = 6$ (trong góc phần tư thứ nhất). Các đỉnh của miền:

- $d_1$ cắt trục hoành $(y=0)$: $x = 6 \Rightarrow A(6;\,0)$.
- $d_2$ cắt trục tung $(x=0)$: $y = 6 \Rightarrow C(0;\,6)$.
- Giao điểm của $d_1$ và $d_2$: giải hệ $\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$ được $x = 2,\ y = 2 \Rightarrow B(2;\,2)$.

Bước 3. Tính giá trị $F$ tại các đỉnh.

Vì $F = 1{,}7x + 1{,}2y$ với các hệ số dương và miền nghiệm không bị chặn về phía trên, giá trị nhỏ nhất của $F$ (nếu có) đạt tại một đỉnh của miền. Ta có:

- Tại $A(6;\,0)$: $F = 1{,}7 \cdot 6 + 1{,}2 \cdot 0 = 10{,}2$.
- Tại $B(2;\,2)$: $F = 1{,}7 \cdot 2 + 1{,}2 \cdot 2 = 3{,}4 + 2{,}4 = 5{,}8$.
- Tại $C(0;\,6)$: $F = 1{,}7 \cdot 0 + 1{,}2 \cdot 6 = 7{,}2$.

So sánh: $F$ nhỏ nhất bằng $5{,}8$ tại $B(2;\,2)$.

Bước 4. Kiểm tra lại đáp số tại $B(2;\,2)$.

- Đạm: $3 \cdot 2 + 6 \cdot 2 = 18 \ge 18$ ✓
- Phosphate: $2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6 \ge 6$ ✓

Cả hai ràng buộc đều thỏa mãn (vừa đủ), chi phí $5{,}8$ triệu đồng là nhỏ nhất.

Kết luận. Ông chủ trang trại cần mua 2 tạ phân loại X và 2 tạ phân loại Y, khi đó chi phí thấp nhất là 5,8 triệu đồng mà vẫn đảm bảo chế độ dinh dưỡng cho đậu tương.

Đáp số