Giải Luyện tập 3 trang 33 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

## Bước 1. Xác định miền nghiệm (miền ràng buộc)

Miền nghiệm $D$ là giao của các nửa mặt phẳng ứng với hệ ràng buộc:
$$\begin{cases} x \geq 0,\ y \geq 0 \\ x + y \geq 1 \\ 2x + 4y \geq 3. \end{cases}$$

Vẽ các đường thẳng biên:
- $x=0$ (trục $Oy$), $y=0$ (trục $Ox$);
- $d_1: x+y=1$ đi qua $(1;0)$ và $(0;1)$;
- $d_2: 2x+4y=3$ đi qua $(1{,}5;0)$ và $\left(0;\tfrac{3}{4}\right)$.

Vì tất cả ràng buộc đều là dấu $\geq$ nên miền nghiệm $D$ là miền không bị chặn (mở lên phía trên và sang phải).

## Bước 2. Tìm các đỉnh của miền nghiệm

Giao của $x=0$ và $d_1$: thay $x=0$ vào $x+y=1$ được $y=1$ → đỉnh $A(0;1)$ (kiểm tra $2\cdot 0+4\cdot 1=4\geq 3$: thỏa mãn).

Giao của $d_1$ và $d_2$: từ $x+y=1 \Rightarrow x=1-y$, thay vào $2x+4y=3$:
$$2(1-y)+4y=3 \Rightarrow 2+2y=3 \Rightarrow y=0{,}5,\ x=0{,}5.$$
Đỉnh $B(0{,}5;\,0{,}5)$.

Giao của $d_2$ và $y=0$: thay $y=0$ vào $2x+4y=3$ được $x=1{,}5$ → đỉnh $C(1{,}5;0)$ (kiểm tra $x+y=1{,}5\geq 1$: thỏa mãn).

Vậy các đỉnh của $D$ là $A(0;1)$, $B(0{,}5;0{,}5)$, $C(1{,}5;0)$.

## Bước 3. Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh

$$F(A)=0+2\cdot 1=2;\qquad F(B)=0{,}5+2\cdot 0{,}5=1{,}5;\qquad F(C)=1{,}5+2\cdot 0=1{,}5.$$

Vì miền $D$ không bị chặn theo hướng $F$ tăng (khi $x,y$ càng lớn thì $F=x+2y$ càng lớn), nên $F$ không có giá trị lớn nhất nhưng đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh.

So sánh: giá trị nhỏ nhất trong ba đỉnh là $1{,}5$, đạt tại cả hai đỉnh $B$ và $C$.

$$\min_{D} F = 1{,}5.$$

## Bước 4. Kiểm tra lại đáp số

Nhận xét: ràng buộc $2x+4y\geq 3$ tương đương $x+2y\geq \dfrac{3}{2}=1{,}5$, tức là chính là $F(x;y)\geq 1{,}5$ với mọi điểm thuộc $D$.

Do đó $F\geq 1{,}5$ trên toàn miền, dấu bằng xảy ra khi $2x+4y=3$. Kết hợp với các ràng buộc còn lại, $F$ đạt giá trị nhỏ nhất $1{,}5$ tại mọi điểm trên đoạn thẳng $BC$ (phần đường thẳng $2x+4y=3$ nằm trong $D$, nối $B(0{,}5;0{,}5)$ và $C(1{,}5;0)$), chẳng hạn tại $B$ và $C$. Kết quả khớp với Bước 3. ✓

Đáp số