Giải Hoạt động 3 trang 30 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

## a) Kiểm tra miền chấp nhận được $S$

Miền chấp nhận được là tập các điểm $(x;y)$ thoả mãn đồng thời tất cả các ràng buộc, tức là giao của các nửa mặt phẳng:

- $x \ge 0$: nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$;
- $y \ge 0$: nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$;
- $x + 2y \ge 4$: nửa mặt phẳng chứa các điểm phía trên đường $x + 2y = 4$ (đường này qua $(4;0)$ và $(0;2)$);
- $x + y \ge 3$: nửa mặt phẳng chứa các điểm phía trên đường $x + y = 3$ (đường này qua $(3;0)$ và $(0;3)$).

Lấy một điểm thử nằm trong miền tô màu, chẳng hạn $(5;5)$:
$$x=5\ge0,\ y=5\ge0,\ x+2y=15\ge4,\ x+y=10\ge3.$$
Tất cả các ràng buộc đều thoả mãn, nên $(5;5)$ thuộc miền chấp nhận được.

Biên của miền gồm các đoạn/tia nằm trên các đường ràng buộc; các đỉnh (điểm cực biên) là giao của các đường biên kề nhau:
- $x + y = 3$ cắt $Oy$ tại $(0;3)$ (thoả $x+2y=6\ge4$);
- $x + 2y = 4$ và $x + y = 3$ cắt nhau: trừ vế theo vế được $y = 1$, suy ra $x = 2$, tức điểm $(2;1)$;
- $x + 2y = 4$ cắt $Ox$ tại $(4;0)$ (thoả $x+y=4\ge3$).

Miền $S$ đúng là phần không bị chặn, giới hạn bởi trục $Oy$ (từ $(0;3)$ trở lên), đoạn nối $(0;3)$–$(2;1)$ trên đường $x+y=3$, đoạn nối $(2;1)$–$(4;0)$ trên đường $x+2y=4$, và trục $Ox$ (từ $(4;0)$ trở đi). Đây chính là miền $S$ tô màu trong Hình 2.6. (đpcm)

## b) Tập hợp các điểm $M(x;y)$ thoả $3x + 4y = 12$

Tập hợp các điểm $M(x;y)$ thoả mãn $F(x;y) = 3x + 4y = 12$ là đường thẳng $d_{12}: 3x + 4y = 12$.

Đường thẳng này cắt trục $Ox$ tại $\left(\dfrac{12}{3};0\right) = (4;0)$ và cắt trục $Oy$ tại $\left(0;\dfrac{12}{4}\right) = (0;3)$.

## c) Điều kiện của $m$ để $d_m \cap S \ne \varnothing$

Các đường thẳng $d_m : 3x + 4y = m$ (với các giá trị $m$ khác nhau) là những đường thẳng song song với nhau (cùng vectơ pháp tuyến $(3;4)$). Khi $m$ tăng, đường $d_m$ tịnh tiến ra xa gốc toạ độ về phía miền $S$.

Từ hình vẽ, khi $m$ nhỏ thì $d_m$ nằm hẳn phía dưới miền $S$ (không có điểm chung). Tăng dần $m$, đường $d_m$ tiến lại gần $S$; đường $d_m$ bắt đầu chạm miền $S$ tại điểm $(2;1)$ (đỉnh gần gốc toạ độ nhất), ứng với
$$m = 3\cdot 2 + 4\cdot 1 = 10.$$
Với mọi $m \ge 10$, đường $d_m$ luôn cắt miền $S$ (miền $S$ không bị chặn về phía $m$ lớn). Với $m < 10$, đường $d_m$ nằm ngoài $S$.

Vậy điều kiện là:
$$\boxed{m \ge 10}.$$

## d) Giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền chấp nhận được

Với điểm $(x;y)$ bất kỳ thuộc $S$, đặt $m = F(x;y) = 3x + 4y$; khi đó $(x;y) \in d_m \cap S$, nên $d_m \cap S \ne \varnothing$, do đó theo phần c) ta có $m \ge 10$. Suy ra
$$F(x;y) = 3x + 4y \ge 10 \quad \text{với mọi } (x;y) \in S.$$

Dấu bằng xảy ra tại điểm $(2;1) \in S$, vì $F(2;1) = 3\cdot 2 + 4\cdot 1 = 10$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền chấp nhận được là
$$\min_{S} F = 10, \text{ đạt tại } (2;1).$$

Điểm $(2;1)$ chính là giao của hai đường biên $x + 2y = 4$ và $x + y = 3$, tức là một điểm cực biên (đỉnh) của miền chấp nhận được. Do đó giá trị nhỏ nhất của $F$ đạt được tại một điểm cực biên của miền chấp nhận được. (đpcm)

(Kiểm tra thêm tại hai đỉnh còn lại: $F(0;3) = 12$, $F(4;0) = 12$, đều lớn hơn $10$ — phù hợp.)

Đáp số