Giải Luyện tập 2 trang 30 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Đặt ẩn và điều kiện.

Gọi $x$ là số xe loại A và $y$ là số xe loại B cần thuê $(x,\,y\in\mathbb{N})$.

Vì có 10 xe A và 9 xe B nên $0\le x\le 10$ và $0\le y\le 9$.

Bước 2. Lập các bất phương trình ràng buộc.

- Chở đủ 140 người: mỗi xe A chở tối đa 20 người, mỗi xe B chở tối đa 10 người:
$$20x+10y\ge 140 \iff 2x+y\ge 14.$$
- Chở đủ 9 tấn hàng: mỗi xe A chở tối đa 0,6 tấn, mỗi xe B chở tối đa 1,5 tấn:
$$0{,}6x+1{,}5y\ge 9 \iff 2x+5y\ge 30.$$

Vậy $(x;y)$ là nghiệm của hệ bất phương trình:
$$\begin{cases}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30.\end{cases}$$

Bước 3. Lập hàm chi phí cần tối ưu.

Chi phí thuê xe (đơn vị: triệu đồng) là:
$$F(x;y)=4x+3y \ \longrightarrow\ \text{nhỏ nhất}.$$

Bước 4. Xác định các đỉnh của miền nghiệm.

Miền nghiệm $S$ của hệ là miền đa giác. Ta tìm tọa độ các đỉnh (giao điểm của các đường biên):

- Giao của $2x+y=14$ và $2x+5y=30$: trừ vế theo vế được $4y=16\Rightarrow y=4$, suy ra $x=5$. Đỉnh $A(5;4)$.
- Giao của $2x+y=14$ và $y=9$: $2x=5\Rightarrow x=2{,}5$. Đỉnh $B(2{,}5;\,9)$.
- Giao của $2x+5y=30$ và $x=10$: $5y=10\Rightarrow y=2$. Đỉnh $C(10;\,2)$.
- Giao của $x=10$ và $y=9$: đỉnh $D(10;\,9)$.

Bước 5. Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh.

| Đỉnh | $F=4x+3y$ (triệu đồng) |
|---|---|
| $A(5;4)$ | $4\cdot5+3\cdot4=32$ |
| $B(2{,}5;9)$ | $4\cdot2{,}5+3\cdot9=37$ |
| $C(10;2)$ | $4\cdot10+3\cdot2=46$ |
| $D(10;9)$ | $4\cdot10+3\cdot9=67$ |

Hàm bậc nhất $F$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của miền nghiệm. Từ bảng trên, giá trị nhỏ nhất là
$$F_{\min}=32 \text{ (triệu đồng)}\quad\text{tại }A(5;4).$$

Bước 6. Kiểm tra lại đáp số.

Với $x=5,\ y=4$:
- Số người chở được: $20\cdot5+10\cdot4=100+40=140$ (người) — đủ 140 người ✓.
- Khối lượng hàng: $0{,}6\cdot5+1{,}5\cdot4=3+6=9$ (tấn) — đủ 9 tấn ✓.
- Số xe: $5\le 10$ và $4\le 9$ — hợp lệ ✓.

Kết luận: Cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B thì chi phí ít nhất là 32 triệu đồng mà vẫn chở hết người và hàng.

Đáp số