Giải Hoạt động 2 trang 27 Chuyên đề Toán 12
Đề bài
Ta giải bài toán trong Tình huống mở đầu.
Từ HĐ1 ta có bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
$F(x;y) = 40x + 30y \to \max$
với các ràng buộc
$\begin{cases} x + 2y \le 100 \\ 2x + y \le 80 \\ x \ge 0,\ y \ge 0. \end{cases}$
Miền chấp nhận được $S$ của bài toán là miền tứ giác tô màu trong Hình 2.3.
a) Tìm tập hợp các điểm $M(x;y)$ thoả mãn
$F(x;y) = 40x + 30y = 1\,200.$
Mô tả hình bằng lời
Hình 2.3: Hệ trục Oxy. Miền chấp nhận được S là tứ giác tô màu có các đỉnh: O(0;0), điểm trên trục Oy tại y=40 (giao của 2x+y=80 với... thực ra giao điểm (0;50) của x+2y=100 với Oy được đánh dấu ở 50), đỉnh phương án tối ưu tại (20;30) (đường nét đứt từ x=20 và y=40 gặp nhau; điểm tối ưu ghi 'Phương án tối ưu'), và điểm (40;0) trên trục Ox. Trên trục Oy đánh dấu các giá trị 200/3, 50, 40, m/30; trên trục Ox đánh dấu m/40, 20, 30, 40, 50. Các đường thẳng song song $d_m$, $d_{1200}$, $d_{2000}$ biểu diễn họ đường mức F=40x+30y=hằng số (m, 1200, 2000).
Lời giải
a) Tìm tập hợp các điểm $M(x;y)$ thoả mãn $F(x;y)=40x+30y=1\,200$.
Các điểm $M(x;y)$ thoả mãn điều kiện đã cho là các điểm có toạ độ nghiệm đúng phương trình
$$40x+30y=1\,200.$$
Đây là một phương trình bậc nhất hai ẩn (với $40\ne 0$), nên tập hợp các điểm $M(x;y)$ thoả mãn nó là một đường thẳng, kí hiệu $d_{1200}$:
$$d_{1200}:\ 40x+30y=1\,200\quad\Longleftrightarrow\quad 4x+3y=120.$$
Để vẽ đường thẳng này, ta tìm giao điểm của nó với hai trục toạ độ:
- Cho $y=0$: $40x=1\,200\Rightarrow x=30$, được điểm $(30;0)$ trên trục $Ox$.
- Cho $x=0$: $30y=1\,200\Rightarrow y=40$, được điểm $(0;40)$ trên trục $Oy$.
Vậy tập hợp các điểm $M(x;y)$ thoả mãn $F(x;y)=1\,200$ là đường thẳng $d_{1200}:\ 40x+30y=1\,200$ (tức $4x+3y=120$), đi qua hai điểm $(30;0)$ và $(0;40)$.
*Kiểm tra:* với $(30;0)$ có $40\cdot 30+30\cdot 0=1\,200$ ✓; với $(0;40)$ có $40\cdot 0+30\cdot 40=1\,200$ ✓.
*Nhận xét:* Đường thẳng này chính là một đường mức của hàm mục tiêu $F$ ứng với giá trị $1\,200$; mọi điểm nằm trên nó đều cho cùng một giá trị $F=1\,200$. Đường thẳng $d_{1200}$ có cắt miền chấp nhận được $S$ (chẳng hạn nó đi qua điểm $(30;0)$ nằm trên cạnh của $S$), nên trong miền $S$ có những phương án đạt giá trị $F=1\,200$.
Đáp số
Lưu ý: đề có thể thiếu phần cuối (chạy sang trang)
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.