Giải Luyện tập 1 trang 27 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

## a) Đặt ẩn và viết bài toán quy hoạch tuyến tính

Gọi $x$ (tấn) là lượng nguyên liệu loại I và $y$ (tấn) là lượng nguyên liệu loại II cần dùng. Điều kiện tự nhiên: $x\ge 0,\ y\ge 0$.

Ràng buộc về khả năng cung cấp (không quá 10 tấn loại I và 9 tấn loại II):
$$x\le 10,\qquad y\le 9.$$

Ràng buộc chất X ($20x$ kg từ loại I, $10y$ kg từ loại II, cần ít nhất 140 kg):
$$20x+10y\ge 140\ \Leftrightarrow\ 2x+y\ge 14.$$

Ràng buộc chất Y ($0{,}6x$ kg từ loại I, $1{,}5y$ kg từ loại II, cần ít nhất 9 kg):
$$0{,}6x+1{,}5y\ge 9\ \Leftrightarrow\ 2x+5y\ge 30.$$

Hàm chi phí (triệu đồng) cần nhỏ nhất: $F(x;y)=4x+3y$.

Vậy bài toán quy hoạch tuyến tính: tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)=4x+3y$ với
$$\begin{cases} 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30\\ 0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9.\end{cases}$$

## b) Biểu diễn tập phương án chấp nhận được và tìm phương án cực biên

Tập các phương án chấp nhận được $S$ là miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a). Vẽ các đường thẳng $d_1:\ 2x+y=14$, $d_2:\ 2x+5y=30$, $x=10$, $y=9$ rồi gạch bỏ các nửa mặt phẳng không thỏa mãn. Miền $S$ là phần nằm phía trên $d_1,\ d_2$ và trong hình chữ nhật $0\le x\le 10,\ 0\le y\le 9$; đó là một tứ giác.

Tìm các đỉnh (phương án cực biên) bằng cách giao các đường ràng buộc:

- $d_1\cap y=9$: $2x+9=14\Rightarrow x=2{,}5$, được $A(2{,}5;\ 9)$.
- $d_1\cap d_2$: từ $\begin{cases}2x+y=14\\ 2x+5y=30\end{cases}$ trừ vế: $4y=16\Rightarrow y=4$, suy ra $x=5$, được $B(5;\ 4)$.
- $d_2\cap x=10$: $20+5y=30\Rightarrow y=2$, được $C(10;\ 2)$.
- $x=10\cap y=9$: được $D(10;\ 9)$.

(Các giao còn lại như $d_1\cap\{x=10\}$ cho $y=-6<0$, $d_2\cap\{y=9\}$ cho $x=-7{,}5<0$ đều bị loại.)

Vậy miền $S$ là tứ giác $ABCD$ với bốn phương án cực biên:
$$A(2{,}5;\ 9),\quad B(5;\ 4),\quad C(10;\ 2),\quad D(10;\ 9).$$

Tính $F=4x+3y$ tại các đỉnh:

| Đỉnh | $x$ | $y$ | $F=4x+3y$ |
|------|-----|-----|-----------|
| $A$ | $2{,}5$ | $9$ | $37$ |
| $B$ | $5$ | $4$ | $\mathbf{32}$ |
| $C$ | $10$ | $2$ | $46$ |
| $D$ | $10$ | $9$ | $67$ |

Hàm chi phí đạt giá trị nhỏ nhất $F=32$ tại $B(5;\ 4)$.

Kiểm tra tại $B(5;\ 4)$: chất X: $20\cdot5+10\cdot4=140\ge140$ ✓; chất Y: $0{,}6\cdot5+1{,}5\cdot4=9\ge9$ ✓; $0\le5\le10$ ✓; $0\le4\le9$ ✓.

Kết luận: Cần dùng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II; chi phí mua nguyên liệu nhỏ nhất là 32 triệu đồng.

Đáp số