Giải Hoạt động 1 trang 25 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Nhắc lại bài toán mở đầu. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II. Sản xuất $1$ kg loại I cần $2$ kg nguyên liệu và $30$ giờ máy, cho lợi nhuận $40$ nghìn đồng; sản xuất $1$ kg loại II cần $4$ kg nguyên liệu và $15$ giờ máy, cho lợi nhuận $30$ nghìn đồng. Xí nghiệp có $200$ kg nguyên liệu và $1200$ giờ máy. Gọi $x,\ y$ lần lượt là số kilôgam sản phẩm loại I và loại II ($x\ge 0,\ y\ge 0$).

a) Biểu thức lợi nhuận $F(x;y)$

Mỗi kilôgam loại I lãi $40$ nghìn đồng, mỗi kilôgam loại II lãi $30$ nghìn đồng, nên tổng lợi nhuận (đơn vị: nghìn đồng) là:

$$F(x;y)=40x+30y.$$

b) Hệ bất phương trình ràng buộc

Ràng buộc nguyên liệu: $2x+4y\le 200\ \Leftrightarrow\ x+2y\le 100.$

Ràng buộc thời gian máy: $30x+15y\le 1200\ \Leftrightarrow\ 2x+y\le 80.$

Ràng buộc không âm: $x\ge 0,\ y\ge 0.$

Vậy hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$$\begin{cases} x+2y\le 100 \\ 2x+y\le 80 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{cases}$$

c) Miền nghiệm và toạ độ các đỉnh

Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ vẽ hai đường thẳng:

$$d_1:\ x+2y=100\ \text{(qua }(100;0)\text{ và }(0;50)),\qquad d_2:\ 2x+y=80\ \text{(qua }(40;0)\text{ và }(0;80)).$$

Vì gốc toạ độ $O(0;0)$ thoả mãn mọi bất phương trình nên miền nghiệm là phần góc phần tư thứ nhất nằm phía dưới cả $d_1$ và $d_2$; đó là một miền tứ giác. Toạ độ các đỉnh:

- $O(0;0)$ — giao của hai trục.
- $A(40;0)$ — giao của $d_2$ với $Ox$: cho $y=0\Rightarrow 2x=80\Rightarrow x=40.$
- $C(20;40)$ — giao của $d_1$ và $d_2$: giải $\begin{cases} x+2y=100 \\ 2x+y=80 \end{cases}$, từ phương trình dưới $y=80-2x$, thay vào trên $x+2(80-2x)=100\Rightarrow -3x=-60\Rightarrow x=20,\ y=40.$
- $D(0;50)$ — giao của $d_1$ với $Oy$: cho $x=0\Rightarrow 2y=100\Rightarrow y=50.$

Vậy miền tứ giác có bốn đỉnh $O(0;0),\ A(40;0),\ C(20;40),\ D(0;50).$

d) Giá trị $F$ tại các đỉnh và dự đoán lợi nhuận cao nhất

$$F(O)=40\cdot0+30\cdot0=0.$$

$$F(A)=40\cdot40+30\cdot0=1600.$$

$$F(C)=40\cdot20+30\cdot40=800+1200=2000.$$

$$F(D)=40\cdot0+30\cdot50=1500.$$

So sánh bốn giá trị, giá trị lớn nhất là $F(C)=2000$ (nghìn đồng), đạt tại đỉnh $C(20;40).$

Dự đoán: Lợi nhuận cao nhất của xí nghiệp là $2000$ nghìn đồng $=2$ triệu đồng, đạt được khi sản xuất $20$ kg sản phẩm loại I và $40$ kg sản phẩm loại II. (Giá trị lớn nhất của $F$ đạt tại một đỉnh của miền tứ giác.)

Đáp số