Giải Bài 1.17 trang 23 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích. Mỗi thành phần hoạt động độc lập với xác suất $p$, nên số thành phần hoạt động trong hệ $n$ thành phần tuân theo phân bố nhị thức $B(n;p)$. Hệ hoạt động khi có ít nhất một nửa số thành phần hoạt động.

Hệ 3 thành phần. "Ít nhất một nửa của 3" nghĩa là có ít nhất $2$ thành phần hoạt động. Xác suất hệ hoạt động:
$$P_3=C_3^2\,p^2(1-p)+C_3^3\,p^3=3p^2(1-p)+p^3=3p^2-2p^3.$$

Hệ 5 thành phần. "Ít nhất một nửa của 5" nghĩa là có ít nhất $3$ thành phần hoạt động. Xác suất hệ hoạt động:
$$P_5=C_5^3\,p^3(1-p)^2+C_5^4\,p^4(1-p)+C_5^5\,p^5.$$
Khai triển từng số hạng:
$$10p^3(1-p)^2=10p^3-20p^4+10p^5,\quad 5p^4(1-p)=5p^4-5p^5,\quad p^5,$$
cộng lại:
$$P_5=10p^3-15p^4+6p^5.$$

So sánh. Hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần khi $P_5>P_3$:
$$6p^5-15p^4+10p^3>3p^2-2p^3.$$
Chuyển vế:
$$6p^5-15p^4+12p^3-3p^2>0.$$
Chia hai vế cho $3$ rồi đặt nhân tử chung $p^2$:
$$p^2\big(2p^3-5p^2+4p-1\big)>0.$$
Phân tích đa thức bậc ba (nhận thấy $p=1$ là nghiệm):
$$2p^3-5p^2+4p-1=(p-1)(2p^2-3p+1)=(p-1)^2(2p-1).$$
Do đó
$$p^2(p-1)^2(2p-1)>0.$$

Vì $p$ là xác suất nên $0<p<1$, khi đó $p^2>0$ và $(p-1)^2>0$. Vậy dấu của vế trái chỉ phụ thuộc vào $2p-1$:
$$p^2(p-1)^2(2p-1)>0\iff 2p-1>0\iff p>\tfrac12.$$

Kết luận. Với $\dfrac12<p<1$ thì hệ 5 thành phần hoạt động ổn định hơn (xác suất hoạt động lớn hơn) hệ 3 thành phần. Khi $p=\dfrac12$ hai hệ có xác suất hoạt động bằng nhau ($P_3=P_5=0,5$); khi $p<\dfrac12$ thì hệ 3 thành phần lại tốt hơn.

*Kiểm tra:* với $p=0,6$: $P_3=0,648$ và $P_5\approx0,683$ nên $P_5>P_3$ (đúng); với $p=0,4$: $P_3=0,352$ và $P_5\approx0,317$ nên $P_5<P_3$ (đúng).

Đáp số