Giải Bài 1.16 trang 23 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích. Trận đấu gồm $7$ ván, mỗi ván không có hoà nên chỉ có hai khả năng: Trường thắng hoặc Trường thua. Các ván đấu độc lập với nhau, xác suất Trường thắng ở mỗi ván đều là $p = 0{,}4$. Đây là dãy $n = 7$ phép thử Bernoulli.

Gọi $X$ là số ván Trường thắng trong $7$ ván. Khi đó $X$ tuân theo phân bố nhị thức với tham số $n = 7$ và $p = 0{,}4$:
$$P(X = k) = C_7^k \,(0{,}4)^k \,(0{,}6)^{7-k}, \quad k = 0,1,\dots,7.$$

Điều kiện thắng cuộc. Vì trận có $7$ ván (số lẻ) và không có hoà, người thắng cuộc là người thắng số ván lớn hơn, tức là thắng từ $4$ ván trở lên. Vậy Trường thắng cuộc khi $X \ge 4$:
$$P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7).$$

Tính từng số hạng.
$$P(X=4) = C_7^4 (0{,}4)^4 (0{,}6)^3 = 35 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}216 = 0{,}193536.$$
$$P(X=5) = C_7^5 (0{,}4)^5 (0{,}6)^2 = 21 \cdot 0{,}01024 \cdot 0{,}36 = 0{,}0774144.$$
$$P(X=6) = C_7^6 (0{,}4)^6 (0{,}6)^1 = 7 \cdot 0{,}004096 \cdot 0{,}6 = 0{,}0172032.$$
$$P(X=7) = C_7^7 (0{,}4)^7 = 0{,}0016384.$$

Cộng lại.
$$P(X \ge 4) = 0{,}193536 + 0{,}0774144 + 0{,}0172032 + 0{,}0016384 = 0{,}289792.$$

Kiểm tra lại. Tính theo biến cố đối: $P(X \le 3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$. Ta có $P(X=0)=(0{,}6)^7=0{,}0279936$, $P(X=1)=7(0{,}4)(0{,}6)^6=0{,}1306368$, $P(X=2)=21(0{,}4)^2(0{,}6)^5=0{,}2612736$, $P(X=3)=35(0{,}4)^3(0{,}6)^4=0{,}290304$. Tổng $P(X\le 3)=0{,}710208$, nên $P(X\ge 4)=1-0{,}710208=0{,}289792$ — khớp với kết quả trên.

Kết luận. Xác suất để Trường là người thắng cuộc là $P(X \ge 4) \approx 0{,}29.$

Đáp số