Giải Bài 1.15 trang 23 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích chung. Chọn chiến lược nào là dựa vào kì vọng số điểm thí sinh nhận được. Vì việc trả lời đúng câu hỏi vòng 1 không ảnh hưởng tới xác suất trả lời đúng câu hỏi vòng 2 nên hai biến cố $E_1$ và $E_2$ độc lập.

Gọi $X$ là số điểm An nhận được.

Trường hợp 1: Vòng 1 bốc câu hỏi loại 1 (vòng 2 buộc phải là loại 2).

- Nếu vòng 1 sai (xác suất $1-p_1$): dừng thi, được $0$ điểm.
- Nếu vòng 1 đúng (xác suất $p_1$): được $V_1$ điểm, đi tiếp vòng 2.
- Vòng 2 đúng (xác suất $p_2$): được thêm $V_2$ điểm.
- Vòng 2 sai: không được thêm điểm.

Do đó $X$ nhận giá trị $0$ (xác suất $1-p_1$), $V_1$ (xác suất $p_1(1-p_2)$), $V_1+V_2$ (xác suất $p_1p_2$). Kì vọng:
$$E_1(X)=V_1\cdot p_1(1-p_2)+(V_1+V_2)\cdot p_1p_2=p_1V_1+p_1p_2V_2.$$

Trường hợp 2: Vòng 1 bốc câu hỏi loại 2 (vòng 2 buộc phải là loại 1).

Tương tự:
$$E_2(X)=p_2V_2+p_1p_2V_1.$$

### a) Điều kiện để nên bốc câu hỏi loại 1 ở vòng 1

An nên bốc câu hỏi loại 1 ở vòng 1 khi kì vọng điểm ở trường hợp 1 lớn hơn (hoặc bằng) trường hợp 2:
$$p_1V_1+p_1p_2V_2\ \ge\ p_2V_2+p_1p_2V_1.$$
Chuyển vế và nhóm nhân tử:
$$p_1V_1-p_1p_2V_1\ \ge\ p_2V_2-p_1p_2V_2$$
$$p_1V_1(1-p_2)\ \ge\ p_2V_2(1-p_1).$$

Vậy điều kiện cần tìm là
$$\boxed{\,p_1V_1(1-p_2)\ \ge\ p_2V_2(1-p_1)\,}$$
(khi $p_1,p_2<1$ có thể viết gọn thành $\dfrac{p_1V_1}{1-p_1}\ge\dfrac{p_2V_2}{1-p_2}$).

### b) Áp dụng số

Với $p_1=0,6$; $p_2=0,8$; $V_1=20$; $V_2=10$.

Kì vọng khi bốc loại 1 trước:
$$E_1(X)=p_1V_1+p_1p_2V_2=0,6\cdot20+0,6\cdot0,8\cdot10=12+4,8=16,8.$$

Kì vọng khi bốc loại 2 trước:
$$E_2(X)=p_2V_2+p_1p_2V_1=0,8\cdot10+0,6\cdot0,8\cdot20=8+9,6=17,6.$$

Vì $E_2(X)=17,6>E_1(X)=16,8$ nên An nên bốc câu hỏi loại 2 ở vòng 1.

(Kiểm tra bằng điều kiện câu a: $p_1V_1(1-p_2)=0,6\cdot20\cdot0,2=2,4$ còn $p_2V_2(1-p_1)=0,8\cdot10\cdot0,4=3,2$; do $2,4<3,2$ nên điều kiện bốc loại 1 không thỏa mãn, tức nên bốc loại 2 — phù hợp.)

Đáp số