Giải Bài 1.14 trang 23 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

## Phân tích chung

Gọi biến cố lấy được bi trắng từ mỗi túi. Vì lấy độc lập từ 3 túi nên các lần lấy độc lập với nhau, với xác suất lấy được bi trắng ở mỗi túi là:

- Túi I: $p_1=\dfrac{5}{10}=\dfrac12$ , suy ra lấy bi đen: $q_1=\dfrac12$.
- Túi II: $p_2=\dfrac{2}{10}=\dfrac15$ , suy ra $q_2=\dfrac45$.
- Túi III: $p_3=\dfrac{2}{10}=\dfrac15$ , suy ra $q_3=\dfrac45$.

$X$ là số bi trắng lấy được nên $X$ nhận các giá trị $0,\;1,\;2,\;3$.

## a) Bảng phân bố xác suất của $X$

• $P(X=0)$ — cả 3 túi đều lấy bi đen:
$$P(X=0)=q_1q_2q_3=\frac12\cdot\frac45\cdot\frac45=\frac{16}{50}=0{,}32.$$

• $P(X=1)$ — đúng một túi lấy được bi trắng:
$$P(X=1)=p_1q_2q_3+q_1p_2q_3+q_1q_2p_3=\frac{16}{50}+\frac{4}{50}+\frac{4}{50}=\frac{24}{50}=0{,}48.$$

• $P(X=2)$ — đúng hai túi lấy được bi trắng:
$$P(X=2)=p_1p_2q_3+p_1q_2p_3+q_1p_2p_3=\frac{4}{50}+\frac{4}{50}+\frac{1}{50}=\frac{9}{50}=0{,}18.$$

• $P(X=3)$ — cả 3 túi đều lấy được bi trắng:
$$P(X=3)=p_1p_2p_3=\frac12\cdot\frac15\cdot\frac15=\frac{1}{50}=0{,}02.$$

Kiểm tra: $0{,}32+0{,}48+0{,}18+0{,}02=1$ (đúng).

Bảng phân bố xác suất của $X$:

| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $0{,}32$ | $0{,}48$ | $0{,}18$ | $0{,}02$ |

## b) Chứng minh $X$ không có phân bố nhị thức

Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức $B(n,p)$ khi nó đếm số lần thành công trong $n$ phép thử độc lập và có cùng một xác suất thành công $p$ trong mỗi phép thử.

Ở đây xác suất lấy được bi trắng ở túi I là $\dfrac12$, còn ở túi II và III đều là $\dfrac15$, tức là không bằng nhau, nên $X$ không thỏa điều kiện của phân bố nhị thức.

Để khẳng định chặt chẽ, giả sử trái lại $X\sim B(3,p)$. Khi đó phải có đồng thời:
$$P(X=3)=p^3=0{,}02,\qquad P(X=0)=(1-p)^3=0{,}32.$$
Chia vế theo vế: $\left(\dfrac{1-p}{p}\right)^3=\dfrac{0{,}32}{0{,}02}=16\Rightarrow \dfrac{1-p}{p}=\sqrt[3]{16}\approx2{,}52$, suy ra $p\approx0{,}284$.

Thử lại: với $p\approx0{,}284$ thì $p^3\approx0{,}023\neq0{,}02$. Mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại giá trị $p$ nào để $X\sim B(3,p)$, tức là $X$ không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức (đpcm).

Đáp số