Giải Vận dụng 1 trang 10 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Không gian mẫu. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 20 quả, số cách chọn là:
$$n(\Omega)=C_{20}^{3}=1140.$$

a) Bảng phân bố xác suất của $X$

Vì $X$ là số lớn nhất ghi trên 3 quả cầu nên giá trị nhỏ nhất của $X$ là $3$ (khi lấy được ba quả $1,2,3$) và lớn nhất là $20$. Vậy $X$ nhận các giá trị $3,4,5,\dots,20$.

Biến cố $\{X=k\}$ xảy ra khi quả mang số $k$ được chọn và hai quả còn lại mang số nhỏ hơn $k$, tức lấy từ tập $\{1,2,\dots,k-1\}$. Do đó:
$$P(X=k)=\dfrac{C_{k-1}^{2}}{C_{20}^{3}}=\dfrac{C_{k-1}^{2}}{1140},\quad k=3,4,\dots,20.$$

Tính cụ thể, ta được bảng phân bố xác suất:

| $X$ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\dfrac{1}{1140}$ | $\dfrac{3}{1140}$ | $\dfrac{6}{1140}$ | $\dfrac{10}{1140}$ | $\dfrac{15}{1140}$ | $\dfrac{21}{1140}$ | $\dfrac{28}{1140}$ | $\dfrac{36}{1140}$ | $\dfrac{45}{1140}$ |

| $X$ | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\dfrac{55}{1140}$ | $\dfrac{66}{1140}$ | $\dfrac{78}{1140}$ | $\dfrac{91}{1140}$ | $\dfrac{105}{1140}$ | $\dfrac{120}{1140}$ | $\dfrac{136}{1140}$ | $\dfrac{153}{1140}$ | $\dfrac{171}{1140}$ |

*Kiểm tra:* tổng các tử số $1+3+6+\dots+171=1140$, nên tổng các xác suất bằng $1$ (thỏa mãn).

b) Xác suất thắng của người chơi

Người chơi thắng nếu trong 3 quả lấy ra có ít nhất 1 quả ghi số lớn hơn 18, tức có ít nhất một quả mang số $19$ hoặc $20$.

Gọi $A$ là biến cố "người chơi thắng". Biến cố đối $\overline{A}$ là "cả 3 quả đều mang số không vượt quá 18", tức chọn 3 quả từ tập $\{1,2,\dots,18\}$:
$$P(\overline{A})=\dfrac{C_{18}^{3}}{C_{20}^{3}}=\dfrac{816}{1140}=\dfrac{68}{95}.$$

Suy ra xác suất thắng:
$$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{68}{95}=\dfrac{27}{95}\approx 0{,}284.$$

*Kiểm tra bằng cách khác:* thắng nghĩa là $X=19$ hoặc $X=20$, nên
$$P(A)=\dfrac{153}{1140}+\dfrac{171}{1140}=\dfrac{324}{1140}=\dfrac{27}{95}\approx 0{,}284\ \text{(khớp)}.$$

Đáp số