Giải Luyện tập 1 trang 10 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định các giá trị của $X$.

Chọn đồng thời $3$ học sinh từ tổ có $10$ nam và $6$ nữ. Gọi $X$ là số học sinh nam trong $3$ em được chọn. Vì có $10$ nam nên số nam chọn được từ $0$ đến $3$, do đó $X$ nhận các giá trị:
$$X \in \{0;\ 1;\ 2;\ 3\}.$$

Bước 2. Tính số kết quả có thể.

Số cách chọn $3$ học sinh bất kì từ $16$ học sinh là:
$$n(\Omega) = C_{16}^{3} = 560.$$

Bước 3. Tính xác suất tại từng giá trị.

Để có $k$ học sinh nam thì chọn $k$ nam trong $10$ nam và $3-k$ nữ trong $6$ nữ:
$$P(X=k) = \dfrac{C_{10}^{k}\cdot C_{6}^{\,3-k}}{C_{16}^{3}}.$$

- Với $X=0$ (0 nam, 3 nữ): $P(X=0)=\dfrac{C_{10}^{0}\cdot C_{6}^{3}}{560}=\dfrac{1\cdot 20}{560}=\dfrac{1}{28}\approx 0{,}0357.$

- Với $X=1$ (1 nam, 2 nữ): $P(X=1)=\dfrac{C_{10}^{1}\cdot C_{6}^{2}}{560}=\dfrac{10\cdot 15}{560}=\dfrac{15}{56}\approx 0{,}2679.$

- Với $X=2$ (2 nam, 1 nữ): $P(X=2)=\dfrac{C_{10}^{2}\cdot C_{6}^{1}}{560}=\dfrac{45\cdot 6}{560}=\dfrac{27}{56}\approx 0{,}4821.$

- Với $X=3$ (3 nam, 0 nữ): $P(X=3)=\dfrac{C_{10}^{3}\cdot C_{6}^{0}}{560}=\dfrac{120\cdot 1}{560}=\dfrac{3}{14}\approx 0{,}2143.$

Bước 4. Lập bảng phân bố xác suất của $X$.

| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P$ | $\dfrac{1}{28}$ | $\dfrac{15}{56}$ | $\dfrac{27}{56}$ | $\dfrac{3}{14}$ |

Kiểm tra: Tổng các xác suất:
$$\dfrac{1}{28}+\dfrac{15}{56}+\dfrac{27}{56}+\dfrac{3}{14}=\dfrac{2+15+27+12}{56}=\dfrac{56}{56}=1.$$
Vậy bảng phân bố xác suất đã đúng.

Đáp số