Giải Bài 1.13 trang 23 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích phép thử.

Mỗi lần rút, An lấy ngẫu nhiên một trong ba thẻ ghi số $0,1,2$ rồi trả lại, nên mỗi lần rút số nhận được nhận một trong ba giá trị $0,1,2$ với xác suất bằng nhau là $\dfrac13$. Ba lần rút là độc lập, do đó mỗi bộ ba số $(a,b,c)$ với $a,b,c\in\{0,1,2\}$ đều có xác suất như nhau.

Số kết quả có thể xảy ra của ba lần rút là:
$$3\times 3\times 3 = 27.$$
Mỗi bộ $(a,b,c)$ có xác suất $\dfrac{1}{27}$.

Xác định giá trị của $X$.

Vì mỗi số nhỏ nhất là $0$ và lớn nhất là $2$ nên tổng $X=a+b+c$ nhận các giá trị:
$$X\in\{0,1,2,3,4,5,6\}.$$

Đếm số kết quả thuận lợi cho từng giá trị của $X$ (đếm số bộ $(a,b,c)$ có tổng bằng mỗi giá trị):

- $X=0$: chỉ $(0,0,0)$ — có $1$ bộ.
- $X=1$: các hoán vị của $(0,0,1)$ — có $3$ bộ.
- $X=2$: các hoán vị của $(0,0,2)$ và $(0,1,1)$ — có $3+3=6$ bộ.
- $X=3$: các hoán vị của $(0,1,2)$ và $(1,1,1)$ — có $6+1=7$ bộ.
- $X=4$: các hoán vị của $(0,2,2)$ và $(1,1,2)$ — có $3+3=6$ bộ.
- $X=5$: các hoán vị của $(1,2,2)$ — có $3$ bộ.
- $X=6$: chỉ $(2,2,2)$ — có $1$ bộ.

Kiểm tra: $1+3+6+7+6+3+1=27$ (đúng bằng tổng số kết quả).

Tính xác suất (lấy số kết quả thuận lợi chia cho $27$):

$$P(X=0)=\frac{1}{27},\quad P(X=1)=\frac{3}{27}=\frac19,\quad P(X=2)=\frac{6}{27}=\frac29,$$
$$P(X=3)=\frac{7}{27},\quad P(X=4)=\frac{6}{27}=\frac29,\quad P(X=5)=\frac{3}{27}=\frac19,\quad P(X=6)=\frac{1}{27}.$$

Bảng phân bố xác suất của $X$:

| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\dfrac{1}{27}$ | $\dfrac{3}{27}$ | $\dfrac{6}{27}$ | $\dfrac{7}{27}$ | $\dfrac{6}{27}$ | $\dfrac{3}{27}$ | $\dfrac{1}{27}$ |

Kiểm tra: Tổng các xác suất bằng $\dfrac{1+3+6+7+6+3+1}{27}=\dfrac{27}{27}=1$, thỏa mãn điều kiện của bảng phân bố xác suất.

Đáp số