Giải Bài 1.12 trang 22 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

a) Mỗi lần lấy 1 quả cam để kiểm tra rồi trả lại thùng là một phép thử độc lập; trong mỗi lần lấy, xác suất để quả cam không đạt chất lượng luôn bằng $p = 0{,}03$.

$X$ là số quả cam không đạt chất lượng trong $n = 20$ lần lấy độc lập đó. Vậy $X$ có phân bố nhị thức $X \sim B(20;\, 0{,}03)$, tức là

$$P(X = k) = C_{20}^{k}\,(0{,}03)^{k}\,(0{,}97)^{20-k}, \quad k = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, 20.$$

b) Tỉ lệ các thùng cam mỗi loại chính là xác suất tương ứng của $X$.

Loại I: tất cả 20 quả lấy ra đều đạt chất lượng, tức là $X = 0$:

$$P(X = 0) = (0{,}97)^{20} \approx 0{,}5438.$$

Vậy tỉ lệ thùng cam loại I khoảng $54{,}38\%$.

Loại II: có 1 hoặc 2 quả không đạt chất lượng, tức là $X = 1$ hoặc $X = 2$:

$$P(X = 1) = C_{20}^{1}\,(0{,}03)(0{,}97)^{19} = 20 \cdot 0{,}03 \cdot (0{,}97)^{19} \approx 0{,}3364;$$

$$P(X = 2) = C_{20}^{2}\,(0{,}03)^{2}(0{,}97)^{18} = 190 \cdot (0{,}03)^{2} \cdot (0{,}97)^{18} \approx 0{,}0988.$$

Do đó $P(1 \le X \le 2) = P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0{,}3364 + 0{,}0988 = 0{,}4352$.

Vậy tỉ lệ thùng cam loại II khoảng $43{,}52\%$.

Loại III: có ít nhất 3 quả không đạt chất lượng, tức là $X \ge 3$:

$$P(X \ge 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) \approx 1 - 0{,}5438 - 0{,}3364 - 0{,}0988 = 0{,}0210.$$

Vậy tỉ lệ thùng cam loại III khoảng $2{,}10\%$.

Đáp số