Giải Bài 1.11 trang 22 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

a) Trận đấu gồm 5 ván độc lập, mỗi ván chỉ có hai khả năng: Sơn thắng hoặc Sơn thua (không hoà), với xác suất Sơn thắng mỗi ván không đổi là $p=\dfrac{1}{4}$.

Gọi $X$ là số ván Sơn thắng trong 5 ván. Đây chính là số lần "thành công" trong 5 phép thử Bernoulli độc lập cùng xác suất thành công $p=\dfrac14$.

Vậy $X$ có phân bố nhị thức với tham số $n=5$ và $p=\dfrac14$, kí hiệu $X\sim B\!\left(5;\dfrac14\right)$.

Xác suất: $P(X=k)=C_5^k\left(\dfrac14\right)^k\left(\dfrac34\right)^{5-k}$, với $k=0,1,2,3,4,5$.

b) Sơn thắng trận đấu khi Sơn thắng ít nhất 3 ván, tức là biến cố $X\ge 3$.

$$P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5).$$

Tính từng số hạng:

$$P(X=3)=C_5^3\left(\dfrac14\right)^3\left(\dfrac34\right)^2=10\cdot\dfrac{1}{64}\cdot\dfrac{9}{16}=\dfrac{90}{1024}.$$

$$P(X=4)=C_5^4\left(\dfrac14\right)^4\left(\dfrac34\right)^1=5\cdot\dfrac{1}{256}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{1024}.$$

$$P(X=5)=C_5^5\left(\dfrac14\right)^5=\dfrac{1}{1024}.$$

Cộng lại:

$$P(X\ge 3)=\dfrac{90+15+1}{1024}=\dfrac{106}{1024}=\dfrac{53}{512}\approx 0{,}1035.$$

Vậy xác suất để Sơn thắng Tùng trong trận đấu là $\dfrac{53}{512}\approx 0{,}1035$.

Đáp số