Giải Bài 1.10 trang 22 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

a) Gọi tên phân bố xác suất của $X$.

Mỗi bóng đèn có xác suất bị hỏng là $0{,}25$ nên xác suất mỗi bóng sáng là:
$$p = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.$$

Có $6$ bóng đèn hoạt động độc lập, mỗi bóng chỉ có hai kết quả (sáng / hỏng) với cùng xác suất sáng $p = 0{,}75$. Gọi $X$ là số bóng sáng thì $X$ đếm số lần "thành công" (bóng sáng) trong $n = 6$ phép thử Bernoulli độc lập.

Vậy $X$ có phân bố nhị thức với tham số $n = 6$ và $p = 0{,}75$, kí hiệu:
$$X \sim B(6\,;\,0{,}75).$$

b) Xác suất để lớp học đủ ánh sáng.

Lớp đủ ánh sáng khi có ít nhất $4$ bóng sáng, tức là biến cố $X \ge 4$. Ta có:
$$P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6),$$
trong đó $P(X = k) = C_6^k \, (0{,}75)^k \, (0{,}25)^{6-k}$.

$$P(X = 4) = C_6^4 (0{,}75)^4 (0{,}25)^2 = 15 \cdot 0{,}31640625 \cdot 0{,}0625 \approx 0{,}2966.$$
$$P(X = 5) = C_6^5 (0{,}75)^5 (0{,}25)^1 = 6 \cdot 0{,}2373046875 \cdot 0{,}25 \approx 0{,}3560.$$
$$P(X = 6) = C_6^6 (0{,}75)^6 (0{,}25)^0 = (0{,}75)^6 \approx 0{,}1780.$$

Do đó:
$$P(X \ge 4) \approx 0{,}2966 + 0{,}3560 + 0{,}1780 = 0{,}8306.$$

Vậy xác suất để lớp học đủ ánh sáng khoảng $0{,}8306$.

c) Kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của $X$.

Vì $X \sim B(6\,;\,0{,}75)$ nên áp dụng các công thức cho phân bố nhị thức:

$$E(X) = np = 6 \cdot 0{,}75 = 4{,}5.$$
$$V(X) = np(1-p) = 6 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25 = 1{,}125.$$
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1{,}125} \approx 1{,}06.$$

Đáp số