Giải Bài 1.9 trang 21 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập mô hình. Cây bố $Aa$, cây mẹ $Aa$. Cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ mỗi cây, nên cặp gene của cây con là $AA$, $Aa$, $aA$, $aa$, mỗi trường hợp có xác suất $\dfrac14$.

Hạt màu vàng ứng với allele trội $A$, nên cây con có hạt màu vàng khi có ít nhất một allele $A$ (tức là $AA$, $Aa$, $aA$):
$$p = P(\text{vàng}) = \frac34,\qquad P(\text{xanh}) = \frac14 \ (\text{kiểu gene } aa).$$

Bốn bạn thực hiện phép thử độc lập, mỗi phép thử chỉ có hai kết quả (vàng / xanh) với cùng xác suất thành công $p=\dfrac34$. Do đó $X$ — số cây con có hạt màu vàng trong 4 cây — tuân theo phân bố nhị thức $X \sim B\left(4;\dfrac34\right)$.

a) Bảng phân bố xác suất của $X$.

Áp dụng công thức $P(X=k)=C_4^k\left(\dfrac34\right)^k\left(\dfrac14\right)^{4-k}$, $k=0,1,2,3,4$:

$$P(X=0)=\left(\tfrac14\right)^4=\tfrac{1}{256}\approx 0{,}0039$$
$$P(X=1)=C_4^1\left(\tfrac34\right)\left(\tfrac14\right)^3=\tfrac{12}{256}=\tfrac{3}{64}\approx 0{,}0469$$
$$P(X=2)=C_4^2\left(\tfrac34\right)^2\left(\tfrac14\right)^2=\tfrac{54}{256}=\tfrac{27}{128}\approx 0{,}2109$$
$$P(X=3)=C_4^3\left(\tfrac34\right)^3\left(\tfrac14\right)=\tfrac{108}{256}=\tfrac{27}{64}\approx 0{,}4219$$
$$P(X=4)=\left(\tfrac34\right)^4=\tfrac{81}{256}\approx 0{,}3164$$

Bảng phân bố xác suất:

| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\dfrac{1}{256}$ | $\dfrac{12}{256}$ | $\dfrac{54}{256}$ | $\dfrac{108}{256}$ | $\dfrac{81}{256}$ |

(Kiểm tra: $\dfrac{1+12+54+108+81}{256}=\dfrac{256}{256}=1$.)

b) Số cây con trung bình có hạt màu xanh.

Gọi $Y$ là số cây con có hạt màu xanh trong 4 cây thì $Y = 4 - X$, và $Y \sim B\left(4;\dfrac14\right)$.

Kỳ vọng của phân bố nhị thức: $E(Y) = n\cdot p_{\text{xanh}} = 4\cdot\dfrac14 = 1$.

(Có thể kiểm tra qua $X$: $E(X)=4\cdot\dfrac34=3$, nên $E(Y)=4-E(X)=4-3=1$.)

Vậy trung bình có 1 cây con có hạt màu xanh.

Đáp số