Giải Bài 3.24 trang 71 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Tóm tắt dữ kiện.

- Số tiền vay: $P = 2\,000\,000\,000$ đồng.
- Lãi suất năm $9\%$, tính lãi kép hằng tháng nên lãi suất mỗi tháng là $r = \dfrac{9\%}{12} = 0,75\% = 0,0075.$
- Thời gian $20$ năm, mỗi năm $12$ tháng nên số kì trả (số tháng) là $n = 20\times 12 = 240.$

Đặt $q = 1 + r = 1,0075.$ Ta cần $q^{n} = (1,0075)^{240}\approx 6,0091.$

a) Số tiền phải trả hằng tháng.

Gọi $A$ là số tiền trả đều mỗi tháng. Sau mỗi tháng nợ chịu lãi rồi trừ đi khoản trả $A$, nên sau $n$ tháng số nợ còn lại bằng $0$:
$$P(1+r)^n - A\big[(1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \cdots + 1\big] = 0.$$

Tổng trong ngoặc là tổng cấp số nhân công bội $q=1+r$:
$$(1+r)^{n-1}+\cdots+1 = \frac{(1+r)^n - 1}{r}.$$

Suy ra công thức số tiền trả góp hằng tháng:
$$A = \frac{P\, r\,(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}.$$

Thay số:
$$A = \frac{2\,000\,000\,000 \times 0,0075 \times 6,0091}{6,0091 - 1} = \frac{15\,000\,000 \times 6,0091}{5,0091} \approx 17\,994\,500 \text{ (đồng)}.$$

Vậy mỗi tháng họ phải trả khoảng $17\,994\,500$ đồng.

b) Tổng số tiền phải trả trong 20 năm.

Tổng số tiền trả bằng số tiền mỗi tháng nhân với số tháng:
$$T = A \times n \approx 17\,994\,500 \times 240 \approx 4\,318\,680\,000 \text{ (đồng)}.$$

Vậy tổng số tiền phải trả khoảng $4\,318\,680\,000$ đồng (xấp xỉ $4,32$ tỉ đồng).

c) Số tiền tích luỹ nếu gửi các khoản đó vào tài khoản.

Nếu mỗi tháng gửi $A$ đồng vào tài khoản lãi suất tháng $r = 0,0075$ (lãi kép hằng tháng), thì khoản gửi ở tháng thứ $k$ đến cuối kì được nhân lãi $(240-k)$ lần. Tổng số tiền cuối kì là:
$$S = A\big[(1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \cdots + 1\big] = A\,\frac{(1+r)^n - 1}{r}.$$

So với công thức ở câu a) ta có $A\,\dfrac{(1+r)^n-1}{r} = P(1+r)^n$, do đó:
$$S = P(1+r)^n = 2\,000\,000\,000 \times 6,0091 \approx 12\,018\,200\,000 \text{ (đồng)}.$$

Vậy sau $20$ năm tài khoản có khoảng $12\,018\,200\,000$ đồng (xấp xỉ $12,02$ tỉ đồng).

*Nhận xét: $S = P(1+r)^n$ đúng bằng số tiền $2$ tỉ đồng ban đầu được gửi tích luỹ trong $20$ năm — hợp lí, vì việc trả góp khoản vay và việc gửi tích luỹ cùng số tiền đó có giá trị tương đương ở cuối kì.*

Đáp số