Giải Bài 3.23 trang 71 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Đầu tư đều đặn một khoản tiền $R$ (triệu đồng) vào cuối mỗi quý, tiền lãi được nhập gốc theo từng quý (lãi kép hằng quý).

Lãi suất $10\%$ mỗi năm, tính lãi kép hằng quý nên lãi suất mỗi quý là $r = \dfrac{10\%}{4} = 2{,}5\% = 0{,}025$. Số quý trong hai năm là $n = 2 \times 4 = 8$.

Khoản đầu tư ở cuối quý thứ nhất được tính lãi trong $7$ quý nên có giá trị $R(1+r)^{7}$; khoản ở cuối quý thứ hai có giá trị $R(1+r)^{6}$; …; khoản ở cuối quý thứ tám (đúng thời điểm kết thúc hai năm) có giá trị $R$. Do đó tổng số tiền nhận được sau hai năm là tổng của cấp số nhân với công bội $1+r$:

$$S = R + R(1+r) + R(1+r)^{2} + \cdots + R(1+r)^{7} = R \cdot \dfrac{(1+r)^{8}-1}{r}.$$

Ta cần $S = 200$ (triệu đồng), tức là

$$200 = R \cdot \dfrac{(1+0{,}025)^{8}-1}{0{,}025}.$$

Vì $(1{,}025)^{8} \approx 1{,}2184029$ nên $\dfrac{(1{,}025)^{8}-1}{0{,}025} \approx \dfrac{0{,}2184029}{0{,}025} \approx 8{,}736116$.

Suy ra $R = \dfrac{200}{8{,}736116} \approx 22{,}8935$ (triệu đồng).

Thử lại: $22{,}8935 \times 8{,}736116 \approx 200{,}0$ (triệu đồng), đúng bằng số tiền cần có.

Vậy mỗi quý nên đầu tư khoảng $22{,}8935$ triệu đồng (xấp xỉ $22\,893\,500$ đồng) để có $200$ triệu đồng sau hai năm.

Đáp số