Giải Bài 3.21 trang 71 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập chung. Gọi $A_0$ là vốn ban đầu. Nếu mỗi năm chia thành $n$ kì tính lãi, lãi suất năm $r=8\%=0,08$ thì lãi suất mỗi kì là $\dfrac{r}{n}$. Sau $t$ năm (tức $nt$ kì), giá trị khoản đầu tư là:
$$A=A_0\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}.$$
Khoản đầu tư tăng gấp đôi khi $A=2A_0$, tức là:
$$\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}=2.$$
Lấy logarit hai vế:
$$nt=\log_{\left(1+\frac{r}{n}\right)}2=\dfrac{\ln 2}{\ln\!\left(1+\dfrac{r}{n}\right)}\ \Rightarrow\ t=\dfrac{\ln 2}{\,n\,\ln\!\left(1+\dfrac{r}{n}\right)}.$$

a) Tính lãi kép hằng tháng ($n=12$).

Lãi suất mỗi tháng: $\dfrac{0,08}{12}\approx 0,006667$. Số tháng cần tìm là $N=12t$:
$$N=\dfrac{\ln 2}{\ln\!\left(1+\dfrac{0,08}{12}\right)}=\dfrac{0,6931}{\ln(1,006667)}\approx\dfrac{0,6931}{0,0066445}\approx 104,32\ \text{(tháng)}.$$
Vậy $t=\dfrac{104,32}{12}\approx 8,69$ (năm).

Kiểm tra: $\left(1+\dfrac{0,08}{12}\right)^{104,32}\approx e^{104,32\cdot 0,0066445}=e^{0,6931}\approx 2$ (đúng).

Vậy cần khoảng $104$ tháng, tức khoảng $8,69$ năm.

b) Tính lãi kép hằng quý ($n=4$).

Lãi suất mỗi quý: $\dfrac{0,08}{4}=0,02$. Số quý cần tìm là $N=4t$:
$$N=\dfrac{\ln 2}{\ln(1+0,02)}=\dfrac{0,6931}{\ln(1,02)}\approx\dfrac{0,6931}{0,0198026}\approx 35,00\ \text{(quý)}.$$
Vậy $t=\dfrac{35,00}{4}\approx 8,75$ (năm).

Kiểm tra: $(1,02)^{35}\approx e^{35\cdot 0,0198026}=e^{0,6931}\approx 2$ (đúng).

Vậy cần khoảng $35$ quý, tức khoảng $8,75$ năm.

Đáp số