Giải Bài 1.8 trang 21 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác suất thắng một ván.

Gieo đồng thời 3 xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $X$ là số xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. Mỗi xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm với xác suất $p_0=\dfrac{1}{6}$, độc lập nhau, nên $X$ có phân bố nhị thức $B\left(3;\dfrac{1}{6}\right)$.

Người chơi thắng ván đó khi có ít nhất 2 xúc xắc mặt 6 chấm, tức $X\ge 2$:

$$P(X=2)=C_3^2\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{15}{216},\qquad P(X=3)=\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216}.$$

Vậy xác suất thắng một ván là

$$p=P(X\ge 2)=\frac{15}{216}+\frac{1}{216}=\frac{16}{216}=\frac{2}{27}.$$

Bước 2. Xác suất thắng ít nhất 2 ván trong 3 ván.

Bác Hưng chơi 3 ván độc lập, mỗi ván thắng với xác suất $p=\dfrac{2}{27}$. Gọi $Y$ là số ván bác Hưng thắng thì $Y$ có phân bố nhị thức $B\left(3;\dfrac{2}{27}\right)$, với $1-p=\dfrac{25}{27}$.

Xác suất bác Hưng thắng ít nhất 2 ván là $P(Y\ge 2)=P(Y=2)+P(Y=3)$:

$$P(Y=2)=C_3^2\left(\frac{2}{27}\right)^2\left(\frac{25}{27}\right)=3\cdot\frac{4}{729}\cdot\frac{25}{27}=\frac{300}{19683},$$

$$P(Y=3)=\left(\frac{2}{27}\right)^3=\frac{8}{19683}.$$

Do đó

$$P(Y\ge 2)=\frac{300}{19683}+\frac{8}{19683}=\frac{308}{19683}\approx 0{,}0156.$$

Kết luận: Xác suất để bác Hưng thắng ít nhất 2 ván là $\dfrac{308}{19683}\approx 0{,}0156.$

Đáp số