Giải Bài 3.17 trang 69 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Đặt $r = 0{,}4\% = 0{,}004$ và $q = 1 + r = 1{,}004$.

a) Tổng số tiền sau 12 tuần

Mỗi tuần anh Dương tiết kiệm được $1{,}5$ triệu đồng và đem đầu tư ngay khi hết tuần đó. Như vậy khoản tiền gửi vào cuối tuần thứ $k$ sẽ được hưởng lãi kép trong $12 - k$ tuần còn lại, nên đến hết tuần 12 nó có giá trị $1{,}5 \cdot (1{,}004)^{12-k}$ (triệu đồng).

Tổng số tiền sau 12 tuần là
$$S = 1{,}5 + 1{,}5 \cdot 1{,}004 + 1{,}5 \cdot (1{,}004)^2 + \cdots + 1{,}5 \cdot (1{,}004)^{11}.$$

Đây là tổng của cấp số nhân có $12$ số hạng, số hạng đầu $u_1 = 1{,}5$, công bội $q = 1{,}004$, do đó
$$S = 1{,}5 \cdot \frac{(1{,}004)^{12} - 1}{1{,}004 - 1} = 1{,}5 \cdot \frac{(1{,}004)^{12} - 1}{0{,}004}.$$

Vì $(1{,}004)^{12} \approx 1{,}049070$ nên
$$S \approx 1{,}5 \cdot \frac{0{,}049070}{0{,}004} = 1{,}5 \cdot 12{,}2676 \approx 18{,}401 \text{ (triệu đồng)}.$$

Vậy sau 12 tuần anh Dương có tổng cộng khoảng $18{,}401$ triệu đồng (khoảng $18\,401\,000$ đồng).

b) Số tiền rút được nhiều nhất mỗi tuần trong 36 tuần

Gọi $W$ (triệu đồng) là số tiền anh Dương rút vào cuối mỗi tuần và $A_n$ là số dư trong tài khoản sau lần rút thứ $n$, với $A_0 = S \approx 18{,}401$ triệu đồng. Phần tiền còn lại trong tài khoản vẫn được hưởng lãi $0{,}4\%$ mỗi tuần nên ta có hệ thức truy hồi
$$A_n = A_{n-1} \cdot 1{,}004 - W.$$

Áp dụng liên tiếp hệ thức trên, ta được
$$A_{36} = A_0 \cdot (1{,}004)^{36} - W\left[(1{,}004)^{35} + (1{,}004)^{34} + \cdots + 1\right] = A_0 \cdot (1{,}004)^{36} - W \cdot \frac{(1{,}004)^{36} - 1}{0{,}004}.$$

Anh Dương rút được nhiều nhất khi tài khoản vừa cạn sau tuần thứ 36, tức là $A_{36} = 0$. Khi đó
$$W = A_0 \cdot \frac{0{,}004 \cdot (1{,}004)^{36}}{(1{,}004)^{36} - 1}.$$

Vì $(1{,}004)^{36} \approx 1{,}154552$ nên
$$W \approx 18{,}401 \cdot \frac{0{,}004 \cdot 1{,}154552}{0{,}154552} \approx 18{,}401 \cdot 0{,}029881 \approx 0{,}5499 \text{ (triệu đồng)}.$$

Vậy mỗi tuần anh Dương có thể rút nhiều nhất khoảng $0{,}55$ triệu đồng (khoảng $549\,900$ đồng) trong vòng 36 tuần.

Đáp số