Giải Bài 3.15 trang 69 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Lãi suất theo tháng.

Lãi suất $6\%$ một năm, tính lãi kép hằng tháng nên lãi suất mỗi tháng là
$$r=\frac{6\%}{12}=0{,}5\%=0{,}005.$$

Thiết lập công thức (tổng cấp số nhân).

Mỗi tháng gửi $1$ triệu đồng vào tài khoản (khoản gửi tính vào cuối mỗi tháng). Ngay sau lần gửi thứ $n$:

- Khoản gửi ở tháng thứ nhất đã sinh lãi trong $n-1$ tháng, thành $(1{,}005)^{n-1}$ (triệu đồng);
- Khoản gửi ở tháng thứ hai đã sinh lãi trong $n-2$ tháng, thành $(1{,}005)^{n-2}$ (triệu đồng);
- …
- Khoản gửi ở tháng thứ $n$ chưa sinh lãi, là $1$ (triệu đồng).

Tổng số tiền tích luỹ được là tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=1{,}005$:
$$T_n=1+1{,}005+(1{,}005)^2+\cdots+(1{,}005)^{n-1}=\frac{(1{,}005)^n-1}{1{,}005-1}=200\left[(1{,}005)^n-1\right]\ (\text{triệu đồng}).$$

Tìm $n$ để $T_n\ge 100$.
$$200\left[(1{,}005)^n-1\right]\ge 100\iff (1{,}005)^n\ge 1{,}5\iff n\ge \log_{1{,}005}1{,}5=\frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}005}\approx 81{,}3.$$

Vì $n$ nguyên dương nên $n=82$.

Thử lại.

- Với $n=81$: $T_{81}=200\left[(1{,}005)^{81}-1\right]\approx 200\cdot 0{,}4978\approx 99{,}56$ (triệu đồng) $<100$, chưa đủ.
- Với $n=82$: $T_{82}=200\left[(1{,}005)^{82}-1\right]\approx 200\cdot 0{,}5053\approx 101{,}05$ (triệu đồng) $\ge 100$, đạt.

Kết luận. Cần ít nhất $82$ tháng, mà $82=6\cdot 12+10$ nên $82$ tháng bằng $6$ năm $10$ tháng. Vậy mất khoảng $7$ năm (chính xác là $6$ năm $10$ tháng) để tiết kiệm được $100$ triệu đồng.

Đáp số