Giải Bài 3.14 trang 69 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Mỗi năm anh Hưng gửi vào quỹ $50$ triệu đồng. Vì giá trị thị trường của quỹ tăng $5\%$ mỗi năm nên sau mỗi năm, mỗi khoản tiền trong quỹ được nhân với $1{,}05$.

Xét thời điểm ngay sau lần gửi tiền thứ $15$:

- Khoản gửi lần thứ $15$ (vừa gửi) có giá trị $50$ (triệu đồng);
- Khoản gửi lần thứ $14$ đã tăng trưởng $1$ năm, có giá trị $50 \cdot 1{,}05$ (triệu đồng);
- Khoản gửi lần thứ $13$ đã tăng trưởng $2$ năm, có giá trị $50 \cdot 1{,}05^{2}$ (triệu đồng);
- ...
- Khoản gửi lần thứ nhất đã tăng trưởng $14$ năm, có giá trị $50 \cdot 1{,}05^{14}$ (triệu đồng).

Do đó giá trị tài khoản của anh Hưng sau $15$ lần gửi tiền là

$$S = 50 + 50 \cdot 1{,}05 + 50 \cdot 1{,}05^{2} + \cdots + 50 \cdot 1{,}05^{14}.$$

Đây là tổng $15$ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 50$ và công bội $q = 1{,}05$. Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân, ta có

$$S = u_1 \cdot \frac{q^{15} - 1}{q - 1} = 50 \cdot \frac{1{,}05^{15} - 1}{1{,}05 - 1}.$$

Vì $1{,}05^{15} \approx 2{,}078928$ nên

$$S \approx 50 \cdot \frac{2{,}078928 - 1}{0{,}05} = 50 \cdot 21{,}578564 \approx 1078{,}93 \text{ (triệu đồng)}.$$

Vậy sau $15$ lần gửi tiền, giá trị tài khoản của anh Hưng khoảng $1078{,}93$ triệu đồng.

Đáp số