Giải Luyện tập 7 trang 69 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Gọi $A_n$ (triệu đồng) là số dư tài khoản của bác Hùng vào cuối quý thứ $n$. Lãi suất năm là $8\%$, tính lãi theo quý nên lãi suất mỗi quý là
$$r=\frac{8\%}{4}=2\%=0{,}02.$$

a) Hệ thức truy hồi.

Cuối mỗi quý, số dư của quý trước được cộng thêm lãi $2\%$, rồi bác Hùng gửi thêm $6$ triệu đồng. Do đó
$$A_n = A_{n-1}\cdot(1+0{,}02) + 6 = 1{,}02\,A_{n-1} + 6,\qquad A_0 = 0.$$

Đây là hệ thức truy hồi cần tìm.

b) Thời gian để tài khoản vượt quá 500 triệu đồng.

Dãy $(A_n)$ thỏa mãn $A_n = 1{,}02\,A_{n-1}+6$. Đặt $A_n + c = 1{,}02(A_{n-1}+c)$ thì $c = \dfrac{6}{0{,}02}=300$, nên dãy $A_n + 300$ là cấp số nhân với công bội $q=1{,}02$ và số hạng đầu $A_0+300 = 300$. Suy ra
$$A_n + 300 = 300\cdot 1{,}02^{\,n}\ \Rightarrow\ A_n = 300\left(1{,}02^{\,n}-1\right).$$

Ta cần $A_n > 500$:
$$300\left(1{,}02^{\,n}-1\right) > 500 \ \Leftrightarrow\ 1{,}02^{\,n} > \frac{8}{3} \ \Leftrightarrow\ n > \log_{1{,}02}\frac{8}{3}=\frac{\ln\frac{8}{3}}{\ln 1{,}02}\approx 49{,}5.$$

Vậy $n=50$ là số quý nhỏ nhất. Kiểm tra:
$$A_{49}=300\left(1{,}02^{49}-1\right)\approx 491{,}6\ (<500),\qquad A_{50}=300\left(1{,}02^{50}-1\right)\approx 507{,}5\ (>500).$$

Cần $50$ quý, tức là $\dfrac{50}{4}=12{,}5$ năm.

c) Giá trị tài khoản sau 25 năm.

Sau $25$ năm có $n = 25\times 4 = 100$ quý. Khi đó
$$A_{100}=300\left(1{,}02^{100}-1\right)\approx 300\,(7{,}2446-1)\approx 1\,873{,}4\ \text{(triệu đồng)}.$$

Vậy khi nghỉ hưu, tài khoản của bác Hùng có khoảng $1\,873{,}4$ triệu đồng (xấp xỉ $1{,}87$ tỉ đồng).

Đáp số