Giải Bài 1.7 trang 21 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích chung. Ở mỗi câu, thí sinh chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án nên xác suất trả lời đúng một câu là $p=\dfrac14$, trả lời sai là $q=\dfrac34$. Gọi $X$ là số câu trả lời đúng trong $10$ câu. Vì các câu độc lập và mỗi câu chỉ có hai kết quả (đúng/sai) với cùng xác suất, nên $X$ có phân bố nhị thức:

$$X\sim B\left(10;\ \tfrac14\right),\qquad P(X=k)=C_{10}^{k}\left(\tfrac14\right)^{k}\left(\tfrac34\right)^{10-k}.$$

Nếu thí sinh đúng $k$ câu thì sai $10-k$ câu, số điểm đạt được là

$$T=4k-(10-k)=5k-10.$$

a) Được 15 điểm.

Ta cần $5k-10=15\Rightarrow 5k=25\Rightarrow k=5$. Vậy thí sinh phải trả lời đúng đúng $5$ câu:

$$P(X=5)=C_{10}^{5}\left(\tfrac14\right)^{5}\left(\tfrac34\right)^{5}=252\cdot\frac{1}{1024}\cdot\frac{243}{1024}=\frac{61236}{1048576}\approx 0{,}0584.$$

b) Bị điểm âm.

Ta cần $T=5k-10<0\Rightarrow k<2\Rightarrow k\in\{0;1\}$ (đúng $0$ câu hoặc $1$ câu). Do đó

$$P(T<0)=P(X=0)+P(X=1).$$

- $P(X=0)=C_{10}^{0}\left(\tfrac14\right)^{0}\left(\tfrac34\right)^{10}=\left(\tfrac34\right)^{10}=\dfrac{59049}{1048576}.$

- $P(X=1)=C_{10}^{1}\left(\tfrac14\right)^{1}\left(\tfrac34\right)^{9}=10\cdot\tfrac14\cdot\dfrac{19683}{262144}=\dfrac{196830}{1048576}.$

Vậy

$$P(T<0)=\frac{59049+196830}{1048576}=\frac{255879}{1048576}\approx 0{,}2440.$$

Đáp số