Giải Luyện tập 3 trang 19 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích bài toán

Gieo con xúc xắc cân đối, đồng chất. Số chấm lớn hơn $4$ nghĩa là xuất hiện mặt $5$ hoặc mặt $6$. Xác suất mỗi lần gieo được điểm là:
$$p = P(\text{số chấm} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$

Gọi $X$ là số lần (trong $5$ lần gieo) mà số chấm xuất hiện lớn hơn $4$. Vì $5$ lần gieo độc lập và mỗi lần có cùng xác suất thành công $p = \dfrac{1}{3}$, nên $X$ tuân theo phân bố nhị thức:
$$X \sim B\left(5;\ \frac{1}{3}\right),\qquad P(X=k) = C_5^k\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{5-k}.$$

Mỗi lần thành công được $10$ điểm, nên số điểm người chơi nhận được là $10X$. Yêu cầu nhận ít nhất $30$ điểm tương đương:
$$10X \ge 30 \iff X \ge 3.$$

Tính xác suất

$$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5).$$

- $P(X=3) = C_5^3\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 10\cdot\dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{4}{9} = \dfrac{40}{243}.$
- $P(X=4) = C_5^4\left(\dfrac{1}{3}\right)^4\left(\dfrac{2}{3}\right)^1 = 5\cdot\dfrac{1}{81}\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{243}.$
- $P(X=5) = C_5^5\left(\dfrac{1}{3}\right)^5 = \dfrac{1}{243}.$

Do đó:
$$P(X \ge 3) = \frac{40}{243} + \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{51}{243} = \frac{17}{81} \approx 0{,}21.$$

Kết luận: Xác suất để người chơi nhận được ít nhất $30$ điểm là $\dfrac{17}{81} \approx 0{,}21.$

Đáp số