Giải Hoạt động 2 trang 18 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích phép thử.

Mỗi lần thực hiện phép thử $T$, ta chỉ quan tâm tới việc biến cố $E$ có xảy ra hay không. Do đó mỗi lần thực hiện $T$ có đúng hai kết quả:

- Biến cố $E$ xảy ra (gọi là "thành công"), với xác suất $P(E) = p$;
- Biến cố $E$ không xảy ra (gọi là "thất bại"), với xác suất $1 - p$.

Vì phép thử $T$ được lặp lại $n$ lần một cách độc lập nên kết quả của các lần thực hiện là độc lập với nhau, và ở mỗi lần xác suất thành công luôn bằng $p$.

Xét một dãy kết quả cụ thể ứng với $X = k$.

Biến cố $\{X = k\}$ có nghĩa là trong $n$ lần thực hiện, biến cố $E$ xảy ra đúng $k$ lần (thành công $k$ lần) và không xảy ra $n - k$ lần (thất bại $n - k$ lần).

Xét một dãy kết quả cụ thể mà $E$ xảy ra ở $k$ vị trí đã cho và không xảy ra ở $n - k$ vị trí còn lại. Do các lần thực hiện là độc lập, theo quy tắc nhân xác suất, xác suất của dãy kết quả này bằng tích các xác suất từng lần:

$$\underbrace{p \cdot p \cdots p}_{k \text{ thừa số}} \cdot \underbrace{(1-p)(1-p)\cdots(1-p)}_{n-k \text{ thừa số}} = p^{k}(1-p)^{n-k}.$$

Đếm số dãy kết quả như vậy.

Mọi dãy kết quả có đúng $k$ lần thành công đều có cùng xác suất $p^{k}(1-p)^{n-k}$ (chỉ khác nhau ở vị trí của $k$ lần thành công). Số cách chọn $k$ vị trí thành công trong $n$ lần thực hiện chính là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử, bằng $C_{n}^{k}$.

Tính $P(X = k)$.

Các dãy kết quả nói trên là những kết quả xung khắc từng đôi và hợp thành biến cố $\{X = k\}$. Theo quy tắc cộng xác suất:

$$P(X = k) = C_{n}^{k}\, p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0; 1; \ldots; n\}.$$

Kiểm tra.

Áp dụng công thức nhị thức Newton với hai số $p$ và $1 - p$:

$$\sum_{k=0}^{n} P(X = k) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}\, p^{k}(1-p)^{n-k} = \big(p + (1-p)\big)^{n} = 1^{n} = 1.$$

Tổng các xác suất bằng $1$, phù hợp với tính chất của phân bố xác suất nên công thức thu được là hợp lí.

Đáp số