Giải Bài 1.5 trang 14 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Không gian mẫu.

Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ 10 quả, số cách chọn là:
$$n(\Omega)=C_{10}^{2}=45.$$

Bước 2. Xác định các giá trị của $X$.

Hai quả cầu mang các số trong tập $\{1;2;3;4\}$, nên tổng $X$ nhận các giá trị: $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$.

Bước 3. Tính xác suất cho từng giá trị (số quả: bốn quả số 1, ba quả số 2, hai quả số 3, một quả số 4).

a) $X=2$: hai quả đều ghi số $1$: $C_4^2=6$ cách.
$$P(X=2)=\dfrac{6}{45}=\dfrac{2}{15}.$$

b) $X=3$: một quả số $1$ và một quả số $2$: $4\cdot 3=12$ cách.
$$P(X=3)=\dfrac{12}{45}=\dfrac{4}{15}.$$

c) $X=4$: (số $1$ và số $3$) hoặc (hai quả số $2$): $4\cdot 2+C_3^2=8+3=11$ cách.
$$P(X=4)=\dfrac{11}{45}.$$

d) $X=5$: (số $1$ và số $4$) hoặc (số $2$ và số $3$): $4\cdot 1+3\cdot 2=4+6=10$ cách.
$$P(X=5)=\dfrac{10}{45}=\dfrac{2}{9}.$$

e) $X=6$: (số $2$ và số $4$) hoặc (hai quả số $3$): $3\cdot 1+C_2^2=3+1=4$ cách.
$$P(X=6)=\dfrac{4}{45}.$$

f) $X=7$: một quả số $3$ và một quả số $4$: $2\cdot 1=2$ cách.
$$P(X=7)=\dfrac{2}{45}.$$

Bước 4. Kiểm tra. Tổng số cách: $6+12+11+10+4+2=45$ (đúng bằng $C_{10}^2$); tổng xác suất bằng $1$.

Bảng phân bố xác suất của $X$:

| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\dfrac{2}{15}$ | $\dfrac{4}{15}$ | $\dfrac{11}{45}$ | $\dfrac{2}{9}$ | $\dfrac{4}{45}$ | $\dfrac{2}{45}$ |

Đáp số