Giải Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

## Chuẩn bị

Túi có $10$ thẻ đỏ và $6$ thẻ xanh, tổng cộng $16$ thẻ. Rút ngẫu nhiên đồng thời $3$ thẻ nên số cách chọn là:
$$n(\Omega)=C_{16}^3=560.$$

## a) Bảng phân bố xác suất và $E(X)$

$X$ là số thẻ đỏ trong $3$ thẻ rút ra nên $X$ có thể nhận các giá trị $0;\,1;\,2;\,3$.

Rút được $k$ thẻ đỏ (từ $10$ thẻ đỏ) và $3-k$ thẻ xanh (từ $6$ thẻ xanh), nên:
$$P(X=k)=\dfrac{C_{10}^{\,k}\cdot C_{6}^{\,3-k}}{C_{16}^3}.$$

- $P(X=0)=\dfrac{C_{10}^0\cdot C_6^3}{560}=\dfrac{1\cdot 20}{560}=\dfrac{1}{28}.$
- $P(X=1)=\dfrac{C_{10}^1\cdot C_6^2}{560}=\dfrac{10\cdot 15}{560}=\dfrac{15}{56}.$
- $P(X=2)=\dfrac{C_{10}^2\cdot C_6^1}{560}=\dfrac{45\cdot 6}{560}=\dfrac{27}{56}.$
- $P(X=3)=\dfrac{C_{10}^3\cdot C_6^0}{560}=\dfrac{120\cdot 1}{560}=\dfrac{3}{14}.$

Bảng phân bố xác suất của $X$:

| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P$ | $\dfrac{1}{28}$ | $\dfrac{15}{56}$ | $\dfrac{27}{56}$ | $\dfrac{3}{14}$ |

(Kiểm tra: $\dfrac{1}{28}+\dfrac{15}{56}+\dfrac{27}{56}+\dfrac{3}{14}=\dfrac{20+150+270+120}{560}=\dfrac{560}{560}=1.$)

Kì vọng:
$$E(X)=0\cdot\dfrac{1}{28}+1\cdot\dfrac{15}{56}+2\cdot\dfrac{27}{56}+3\cdot\dfrac{3}{14}=\dfrac{150+540+360}{560}=\dfrac{1050}{560}=\dfrac{15}{8}=1{,}875.$$

## b) Bảng phân bố xác suất của $Y$

Trong $3$ thẻ rút ra có $X$ thẻ đỏ (mỗi thẻ $5$ điểm) và $3-X$ thẻ xanh (mỗi thẻ $8$ điểm). Do đó số điểm thu được:
$$Y=5X+8(3-X)=24-3X.$$

Ứng với $X=0;1;2;3$ ta được $Y=24;21;18;15$. Vì $Y$ được xác định qua $X$ nên:
$$P(Y=24)=P(X=0)=\dfrac{1}{28},\quad P(Y=21)=P(X=1)=\dfrac{15}{56},$$
$$P(Y=18)=P(X=2)=\dfrac{27}{56},\quad P(Y=15)=P(X=3)=\dfrac{3}{14}.$$

Bảng phân bố xác suất của $Y$:

| $Y$ | $15$ | $18$ | $21$ | $24$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P$ | $\dfrac{3}{14}$ | $\dfrac{27}{56}$ | $\dfrac{15}{56}$ | $\dfrac{1}{28}$ |

(Tổng các xác suất bằng $1$.)

Đáp số