Giải Luyện tập 5 trang 67 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích. Mỗi năm anh Nam gửi $R = 36$ triệu đồng, lãi suất kép hằng năm $r = 6\% = 0{,}06$, gửi tất cả $30$ lần.

Quy ước lần gửi thứ nhất được thực hiện vào đầu năm thứ nhất. Đến thời điểm gửi tiền lần thứ 30, ta xét từng khoản tiền đã gửi cùng số kỳ nó đã sinh lãi:

- Khoản gửi lần 1 đã gửi được $29$ năm nên có giá trị $36\cdot(1{,}06)^{29}$ (triệu đồng);
- Khoản gửi lần 2 đã gửi được $28$ năm nên có giá trị $36\cdot(1{,}06)^{28}$;
- $\dots$
- Khoản gửi lần 30 vừa mới gửi nên có giá trị $36\cdot(1{,}06)^{0}=36$.

Tính giá trị tài khoản. Giá trị của tài khoản tại thời điểm gửi lần thứ 30 là

$$T = 36\big[(1{,}06)^{29} + (1{,}06)^{28} + \cdots + (1{,}06)^{1} + 1\big].$$

Tổng trong ngoặc là tổng của $30$ số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 1$ và công bội $q = 1{,}06$, nên

$$T = 36\cdot\frac{(1{,}06)^{30} - 1}{1{,}06 - 1} = 36\cdot\frac{(1{,}06)^{30} - 1}{0{,}06}.$$

Do $(1{,}06)^{30} \approx 5{,}743491$ nên

$$T \approx 36\cdot\frac{5{,}743491 - 1}{0{,}06} = 36\cdot 79{,}05818 \approx 2846{,}09 \text{ (triệu đồng)}.$$

Kiểm tra lại. $\dfrac{4{,}743491}{0{,}06} = 79{,}05818$; $\;79{,}05818 \times 36 = 2846{,}09$. Kết quả hợp lí vì tổng tiền gốc đã gửi là $36 \times 30 = 1080$ triệu đồng, phần còn lại là tiền lãi kép tích lũy qua nhiều năm.

Kết luận. Khi anh Nam gửi tiền lần thứ 30, giá trị của tài khoản khoảng $2846{,}09$ triệu đồng (xấp xỉ $2{,}846$ tỉ đồng).

Đáp số