Giải Hoạt động trang 64 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập bài toán.

Gọi $P$ là số tiền vốn cần gửi. Với thể thức lãi kép theo định kì, lãi suất năm là $r$ và một năm có $n$ kì tính lãi thì lãi suất của mỗi kì là $\dfrac{r}{n}$.

Sau $t$ năm thì số kì tính lãi là $N = n\cdot t$ (kì).

Áp dụng công thức lãi kép.

Theo công thức lãi kép, số tiền cả vốn lẫn lãi thu được sau $N$ kì gửi là
$$A = P\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{N} = P\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}.$$

Suy ra số tiền vốn $P$ (giá trị hiện tại).

Từ đẳng thức trên, giải ra $P$ ta được
$$P = \dfrac{A}{\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}} = A\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{-nt}.$$

Đây chính là công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền $A$ nhận được sau $t$ năm.

Kiểm tra lại.

Thay $P = A\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{-nt}$ vào công thức lãi kép:
$$P\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt} = A\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{-nt}\cdot\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt} = A.$$

Đúng bằng số tiền mong muốn $A$, nên công thức thu được là chính xác.

Đáp số