Giải Luyện tập 2 trang 63 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Gọi $P$ (đồng) là số vốn đầu tư ban đầu. Yêu cầu như trong Ví dụ 2 là tìm thời gian để khoản đầu tư tăng gấp đôi, tức là đạt tới giá trị $A = 2P$.

Thiết lập mô hình. Đầu tư theo thể thức lãi kép theo định kì, tính lãi hằng tháng nên số kì tính lãi trong một năm là $n = 12$. Lãi suất năm là $r = 10\% = 0{,}1$, do đó lãi suất mỗi kì (mỗi tháng) là
$$\frac{r}{n} = \frac{0{,}1}{12}.$$
Sau $N$ kì (tháng), giá trị của khoản đầu tư theo công thức lãi kép định kì là
$$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{N} = P\left(1 + \frac{0{,}1}{12}\right)^{N}.$$

Giải phương trình. Để khoản đầu tư tăng gấp đôi, ta cần $A = 2P$:
$$P\left(1 + \frac{0{,}1}{12}\right)^{N} = 2P \;\Longleftrightarrow\; \left(1 + \frac{0{,}1}{12}\right)^{N} = 2.$$
Lấy lôgarit hai vế:
$$N = \log_{\left(1 + \frac{0{,}1}{12}\right)} 2 = \frac{\ln 2}{\ln\!\left(1 + \dfrac{0{,}1}{12}\right)} = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}0083\overline{3})} \approx \frac{0{,}693147}{0{,}008299} \approx 83{,}52.$$

Kết luận. Vì lãi chỉ được nhập vào vốn ở cuối mỗi kì (mỗi tháng) nên $N$ phải là số nguyên; để giá trị khoản đầu tư đạt (và vượt) gấp đôi thì cần lấy $N = 84$ kì, tức $84$ tháng $= 7$ năm.

Kiểm tra lại đáp số.
- Với $N = 83$: $\left(1 + \dfrac{0{,}1}{12}\right)^{83} \approx 1{,}991 < 2$ (chưa gấp đôi).
- Với $N = 84$: $\left(1 + \dfrac{0{,}1}{12}\right)^{84} \approx 2{,}008 > 2$ (đã gấp đôi).

Vậy sau $84$ tháng (tức $7$ năm) khoản đầu tư sẽ tăng gấp đôi giá trị.

Đáp số