Giải Bài 1.2 trang 14 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

a) Xác suất xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi

Biến cố "ít nhất 2 cuộc gọi" là $X \ge 2$, biến cố đối là $X < 2$ tức $X \in \{0; 1\}$.

Do đó:
$$P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}25 - 0{,}2 = 0{,}55.$$

Vậy xác suất để xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi là $0{,}55$.

b) Xác suất xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi

Biến cố "nhiều nhất 3 cuộc gọi" là $X \le 3$ tức $X \in \{0; 1; 2; 3\}$.

Do đó:
$$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0{,}25 + 0{,}2 + 0{,}15 + 0{,}15 = 0{,}75.$$

Vậy xác suất để xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi là $0{,}75$.

c) Tính $E(X)$, $V(X)$ và $\sigma(X)$

*Kì vọng:*
$$E(X) = \sum x_i p_i = 0 \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}15 + 3 \cdot 0{,}15 + 4 \cdot 0{,}13 + 5 \cdot 0{,}12$$
$$= 0 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}45 + 0{,}52 + 0{,}6 = 2{,}07.$$

*Phương sai:* Ta dùng công thức $V(X) = E(X^2) - \big[E(X)\big]^2$, với
$$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot 0{,}25 + 1^2 \cdot 0{,}2 + 2^2 \cdot 0{,}15 + 3^2 \cdot 0{,}15 + 4^2 \cdot 0{,}13 + 5^2 \cdot 0{,}12$$
$$= 0 + 0{,}2 + 0{,}6 + 1{,}35 + 2{,}08 + 3 = 7{,}23.$$

Do đó:
$$V(X) = E(X^2) - \big[E(X)\big]^2 = 7{,}23 - 2{,}07^2 = 7{,}23 - 4{,}2849 = 2{,}9451.$$

*Độ lệch chuẩn:*
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{2{,}9451} \approx 1{,}72.$$

Đáp số