Giải Luyện tập 4 trang 59 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Ta dùng công thức trả góp (khấu hao) của bài toán vay trả đều hằng tháng trong SGK.

Dữ kiện quy về cùng đơn vị

Số tiền vay (khấu hao): $P = 3 - 0{,}6 = 2{,}4$ tỉ đồng $= 2400$ triệu đồng.

Lãi suất năm $6\%$ nên lãi suất tháng:
$$r=\frac{6\%}{12}=0{,}5\%=0{,}005.$$

Số kì trả (số tháng) trong $30$ năm:
$$n=30\times 12=360.$$

---

a) Khoản thanh toán hằng tháng

Gọi $A$ là số tiền trả đều mỗi tháng. Theo công thức trả góp:
$$A=\frac{P\cdot r\,(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}.$$

Ta có $(1+0{,}005)^{360}=(1{,}005)^{360}\approx 6{,}02258$. Do đó:
$$A=\frac{2400\cdot 0{,}005\cdot 6{,}02258}{6{,}02258-1}=\frac{72{,}271}{5{,}02258}\approx 14{,}3892\ (\text{triệu đồng}).$$

Vậy mỗi tháng họ phải trả khoảng $A\approx 14{,}389\,200$ đồng.

---

b) Tổng số tiền trả lãi

Tổng số tiền phải trả trong $360$ tháng:
$$T=A\cdot n\approx 14{,}3892\times 360\approx 5180{,}11\ (\text{triệu đồng}).$$

Số tiền lãi là phần vượt quá số vốn đã vay:
$$L=T-P\approx 5180{,}11-2400=2780{,}11\ (\text{triệu đồng}).$$

Vậy tổng tiền lãi khoảng $2780{,}11$ triệu đồng $\approx 2{,}78$ tỉ đồng.

---

c) Vốn chủ sở hữu sau 20 năm

Sau $20$ năm, họ đã trả được $k=20\times 12=240$ kì. Vốn chủ sở hữu $=$ tiền trả trước $+$ phần nợ gốc đã trả được (không tính lãi), tức là $600$ triệu cộng với phần vốn vay đã hoàn.

Dư nợ còn lại sau $240$ kì:
$$B_{240}=P(1+r)^{240}-A\cdot\frac{(1+r)^{240}-1}{r}.$$

Với $(1{,}005)^{240}\approx 3{,}31020$:
$$B_{240}\approx 2400\times 3{,}31020-14{,}3892\times\frac{3{,}31020-1}{0{,}005}$$
$$\approx 7944{,}48-14{,}3892\times 462{,}04\approx 7944{,}48-6648{,}38\approx 1296{,}10\ (\text{triệu đồng}).$$

Phần nợ gốc đã trả được:
$$2400-1296{,}10=1103{,}90\ (\text{triệu đồng}).$$

Vốn chủ sở hữu căn nhà sau $20$ năm:
$$E=600+1103{,}90=1703{,}90\ (\text{triệu đồng})\approx 1{,}70\ \text{tỉ đồng}.$$

Kiểm tra lại: $A\approx 14{,}389$ triệu; $A\cdot 360\approx 5180{,}1$ triệu, trừ vốn $2400$ được lãi $\approx 2780{,}1$ triệu — hợp lí vì trả trong $30$ năm nên lãi lớn hơn vốn ban đầu. Dư nợ sau nửa chặng ($20/30$ năm) vẫn còn $\approx 1296$ triệu (do đầu kì trả lãi nhiều, gốc ít), nên vốn sở hữu $\approx 1{,}70$ tỉ là phù hợp.

Đáp số