Giải Bài 3.6 trang 54 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

a) Tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm

Từ tháng 1 năm 2014 đến tháng 1 năm 2020 là $n = 6$ năm, với $CPI_0 = 100$ và $CPI = 118{,}09$. Áp dụng công thức $CPI = CPI_0(1+g)^n$, ta có:

$$118{,}09 = 100(1+g)^6 \Rightarrow (1+g)^6 = \frac{118{,}09}{100} = 1{,}1809.$$

Suy ra

$$1+g = \sqrt[6]{1{,}1809} \approx 1{,}0281 \Rightarrow g \approx 0{,}0281.$$

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm trong giai đoạn này khoảng $2{,}81\%$.

b) $CPI$ đạt mức $115$ vào năm nào?

Lấy mốc tháng 1 năm 2014 với $CPI_0 = 100$ và $g \approx 2{,}81\%$. Ta cần tìm $n$ sao cho:

$$100(1{,}0281)^n = 115 \Rightarrow (1{,}0281)^n = 1{,}15.$$

Lấy lôgarit hai vế, ta được:

$$n = \log_{1{,}0281} 1{,}15 = \frac{\ln 1{,}15}{\ln 1{,}0281} \approx 5{,}04.$$

Vậy sau khoảng $5$ năm kể từ năm 2014, tức là vào khoảng năm 2019, chỉ số $CPI$ đạt mức $115$.

c) $CPI$ vào tháng 1 năm 2030

Lấy mốc tháng 1 năm 2020 với $CPI_0 = 118{,}09$, tỉ lệ lạm phát $g = 3{,}21\% = 0{,}0321$. Từ tháng 1 năm 2020 đến tháng 1 năm 2030 là $n = 10$ năm, nên:

$$CPI = 118{,}09(1+0{,}0321)^{10} = 118{,}09(1{,}0321)^{10} \approx 118{,}09 \cdot 1{,}3716 \approx 161{,}97.$$

Vậy $CPI$ vào tháng 1 năm 2030 khoảng $161{,}97$.

d) Thời gian để $CPI$ tăng gấp đôi khi $g = 3\%$

Gọi $CPI_0$ là chỉ số giá tiêu dùng ban đầu. $CPI$ tăng gấp đôi nghĩa là $CPI = 2CPI_0$, do đó:

$$2CPI_0 = CPI_0(1+0{,}03)^n \Rightarrow (1{,}03)^n = 2.$$

Lấy lôgarit hai vế, ta được:

$$n = \log_{1{,}03} 2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}45.$$

Vậy phải mất khoảng $23{,}45$ năm (tức là khoảng $24$ năm) thì chỉ số giá tiêu dùng tăng gấp đôi.

Đáp số