Giải Câu hỏi trang 7 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích. Gọi $X$ là số điểm Minh nhận được sau cả cuộc chơi. Ta tính kì vọng (điểm trung bình) của $X$ trong mỗi phương án chọn, rồi so sánh để quyết định.

Các biến cố trả lời đúng ở hai vòng là độc lập, với:
- Đúng câu loại I: xác suất $0{,}8$; đúng câu loại II: xác suất $0{,}6$.
- Loại I: đúng được $20$ điểm; loại II: đúng được $80$ điểm; sai đều được $0$ điểm.

Phương án 1: Vòng 1 chọn câu loại I (vòng 2 là loại II).

Các khả năng và xác suất:
- Sai ngay vòng 1: $X=0$, xác suất $0{,}2$.
- Đúng vòng 1, sai vòng 2: $X=20$, xác suất $0{,}8\times 0{,}4 = 0{,}32$.
- Đúng cả hai vòng: $X = 20+80 = 100$, xác suất $0{,}8\times 0{,}6 = 0{,}48$.

Bảng phân bố xác suất:

| $X$ | $0$ | $20$ | $100$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $0{,}2$ | $0{,}32$ | $0{,}48$ |

Điểm trung bình (kì vọng):
$$E(X_1) = 0\cdot 0{,}2 + 20\cdot 0{,}32 + 100\cdot 0{,}48 = 6{,}4 + 48 = 54{,}4.$$

Phương án 2: Vòng 1 chọn câu loại II (vòng 2 là loại I).

Các khả năng và xác suất:
- Sai ngay vòng 1: $X=0$, xác suất $0{,}4$.
- Đúng vòng 1, sai vòng 2: $X=80$, xác suất $0{,}6\times 0{,}2 = 0{,}12$.
- Đúng cả hai vòng: $X = 80+20 = 100$, xác suất $0{,}6\times 0{,}8 = 0{,}48$.

Bảng phân bố xác suất:

| $X$ | $0$ | $80$ | $100$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $0{,}4$ | $0{,}12$ | $0{,}48$ |

Điểm trung bình (kì vọng):
$$E(X_2) = 0\cdot 0{,}4 + 80\cdot 0{,}12 + 100\cdot 0{,}48 = 9{,}6 + 48 = 57{,}6.$$

So sánh và kết luận. Vì $E(X_2) = 57{,}6 > E(X_1) = 54{,}4$ nên xét về điểm số trung bình đạt được, Minh nên chọn câu hỏi loại II ở vòng 1.

*(Kiểm tra: mỗi bảng có tổng xác suất $0{,}2+0{,}32+0{,}48 = 1$ và $0{,}4+0{,}12+0{,}48 = 1$; các phép nhân xác suất và cộng điểm đều khớp.)*

Đáp số