Bài tập cuối chương IX

Trả lời câu hỏi Câu 1 trang 61 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn với \(\widehat A = {70^o},\widehat B = {100^o}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\widehat C = {80^o},\widehat D = {110^o}\).

B. \(\widehat C = {110^o},\widehat D = {80^o}\).

C. \(\widehat C = {140^o},\widehat D = {200^o}\).

D. \(\widehat C = {200^o},\widehat D = {140^o}\).

Phương pháp giải:

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat A + \widehat C = {180^o},\widehat B + \widehat D = {180^o}\), từ đó tính các góc còn lại của tứ giác.

Lời giải chi tiết:

Vì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn nên \(\widehat C = {180^o} - \widehat A = {110^o},\widehat D = {180^o} - \widehat B = {80^o}\).

Chọn B

Trả lời câu hỏi Câu 2 trang 61 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Xét trong một đường tròn, khẳng định nào dưới đây là không đúng?

A. Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

B. Hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

C. Góc nội tiếp có số đo bằng góc ở tâm chắn cùng một cung.

D. Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

Phương pháp giải:

Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cùng một cung.

Lời giải chi tiết:

Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cùng một cung nên C sai

Chọn C 

Trả lời câu hỏi Câu 1 trang 61 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) với AB=4cm, BC=3cm. Đường tròn (O) có bán kính là

A. R=2,5 cm.

B. R=5 cm.

C. R=1,5 cm.

D. R=2 cm.                        

Phương pháp giải:

Đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 25\) nên \(AC = 5cm\).

Vì hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) nên đường tròn (O) có bán kính là: \(R = \frac{{AC}}{2} = 2,5cm\).

Chọn A

Đề bài

Xét trong một đường tròn, những câu nào dưới đây là đúng?

a) Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

b) Hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

c) Góc ở tâm có số đo bằng góc nội tiếp chắn cùng một cung.

d) Góc nội tiếp có số đo bằng số đo cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

Các câu đúng là: a, b.

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo của các góc BOC, COA, AOB, biết rằng \(\widehat A = {60^o},\widehat B = {70^o}\).

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC có: \(\widehat {ACB} = {180^o} - \widehat {BAC} - \widehat {ABC} = {50^o}\).

Xét đường tròn (O):

+ Vì góc nội tiếp BAC và góc ở tâm BOC cùng chắn cung nhỏ BC nên \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = {120^o}\).

+ Vì góc nội tiếp ABC và góc ở tâm AOC cùng chắn cung nhỏ AC nên \(\widehat {AOC} = 2\widehat {ABC} = {140^o}\).

+ Vì góc nội tiếp ACB và góc ở tâm AOB cùng chắn cung nhỏ AB nên \(\widehat {AOB} = 2\widehat {ACB} = {100^o}\).

Đề bài

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn (I) tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Chứng tỏ rằng IEAF, IFBD, IDCE là các tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết

Vì (I) tiếp xúc với AC, AB lần lượt tại E và F nên \(\widehat {IFA} = \widehat {IEA} = {90^o}\).

Suy ra, tam giác IFA vuông tại F và tam giác IEA vuông tại E.

Do đó, hai tam giác IFA, IEA nội tiếp đường tròn đường kính AI.

Do đó, tứ giác IEAF nội tiếp đường tròn đường kính AI.

Chứng minh tương tự ta có tứ giác IFBD nội tiếp đường tròn đường kính BI, tứ giác IDCE nội tiếp đường tròn đường kính CI.

Đề bài

Cho tam giác đều ABC nội tiếp một đường tròn bán kính 4cm. Hãy tính độ dài mỗi cạnh và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Gọi a là độ dài cạnh của tam giác đều ABC.

Do tam giác ABC nội tiếp một đường tròn bán kính 4cm nên \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = 4\) nên \(a = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC có bán kính \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = 2cm\).

Đề bài

Tính diện tích tam giác vuông cân, nội tiếp đường tròn bán kính 4cm.

Lời giải chi tiết

Gọi a và b lần lượt là độ dài cạnh góc vuông và độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân đã cho.

Vì đường tròn ngoại tiếp tam giác này có bán kính 4cm nên \(\frac{b}{2} = 4\), suy ra \(b = 8\).

Theo định lí Pythagore ta có: \({a^2} + {a^2} = {b^2} = 64\), suy ra \(a = 4\sqrt 2 cm\).

Diện tích của tam giác đã cho là: \(S = \frac{1}{2}{a^2} = 16\left( {c{m^2}} \right)\).

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, có diện là \(24c{m^2}\) và nội tiếp đường tròn có bán kính 5cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền nên \(BC = 2.5 = 10\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2} = 100\).

Vì tam giác ABC có diện là \(24c{m^2}\) nên:

\(\frac{1}{2}AB.AC = 24\) hay \(AB.AC = 48\).

Ta có:

\({\left( {AB + AC} \right)^2} = A{B^2} + 2AB.AC + A{C^2} = 196\),

suy ra \(AB + AC = 14cm\).

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Khi đó, r cũng là chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác BIC, CIA, ABI.

Ta có: \(S = {S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}} = \frac{1}{2}r\left( {AB + BC + CA} \right)\), suy ra:

\(r = \frac{{2S}}{{AB + BC + AC}} = \frac{{48}}{{10 + 14}} = 2\left( {cm} \right).\)

Đề bài

Hãy cho biết số đo các góc còn lại của tứ giác nội tiếp ABCD trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\widehat A = {80^o},\widehat D = {100^o}\);

b) \(\widehat B = {80^o},\widehat A = {110^o}\);

c) \(\widehat C = {120^o},\widehat B = {60^o}\);

d) \(\widehat D = {65^o},\widehat C = {125^o}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\widehat C = {180^o} - \widehat A = {100^o},\widehat B = {180^o} - \widehat D = {80^o}\);

b) \(\widehat D = {180^o} - \widehat B = {100^o},\widehat C = {180^o} - \widehat A = {70^o}\);

c) \(\widehat A = {180^o} - \widehat C = {60^o},\widehat D = {180^o} - \widehat B = {120^o}\);

d) \(\widehat B = {180^o} - \widehat D = {115^o},\widehat A = {180^o} - \widehat C = {55^o}\).

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng \(AM.AB = AN.AC\).

Lời giải chi tiết

Vì \(\widehat {AMH} = \widehat {ANH} = {90^o}\) nên tam giác AMH vuông tại M và tam giác ANH vuông tại N.

Suy ra, hai tam giác AMH, ANH nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Suy ra, tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\) (hai góc nội tiếp đường tròn đường kính AH cùng chắn cung AN).

Ta có: \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN} = {90^o} - \widehat {HAN} = \widehat {ACB}\)

Tam giác AMN và tam giác ACB có:

\(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\) (cmt),

\(\widehat {MAN} = \widehat {CAB}\) (góc chung)

nên $\Delta AMN\backsim \Delta ACB\left( g.g \right)$.

Suy ra \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\), suy ra \(AM.AB = AN.AC\).

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng:

a) KB. KC = KE. KF;

b) \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}\) nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Chứng minh tương tự ta có: tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC, tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên \(\widehat {KFB} = {180^o} - \widehat {BFE} = \widehat {BCE}\).

Tam giác KFB và tam giác KCE có: \(\widehat {KFB} = \widehat {BCE}\), góc K chung.

Suy ra: $\Delta KFB\backsim \Delta KCE\left( g.g \right)$. Suy ra, \(\frac{{KF}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KE}}\), hay KB. KC = KE. KF.

b) Hai tam giác KEB và tam giác KCF có: \(\widehat {KEB} = \widehat {KCF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF của đường tròn đường kính BC), góc K chung nên $\Delta KEB\backsim \Delta KCF\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{EB}}{{CF}}\).

Mặt khác: \(\frac{{KB}}{{KE}} = \frac{{FB}}{{CE}}\) (do $\Delta KFB\backsim \Delta KCE\left( cmt \right)$). Suy ra: \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KE}}.\frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{BF}}{{CF}}.\frac{{BE}}{{CE}}\) (1)

Chứng minh tương tự ta có: hai tam giác BDF và tam giác BAC có:

\(\widehat {BDF} = {180^o} - \widehat {FDC} = \widehat {BAC};\widehat {DBF} = \widehat {ABC}\).

Suy ra: $\Delta BDF\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{BF}}{{BC}}\). Tương tự ta có: \(\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{CE}}{{BC}}\) nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BF}}{{CE}}.\frac{{AB}}{{AC}}\) (2)

Mà $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ (hai tam giác vuông có chung góc nhọn BAC). Do đó, \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{CF}}\) (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).

Đề bài

Cho một lục giác đều và một tam giác đều cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng tam giác đều có cạnh bằng 3cm. Tính chu vi và diện tích của hình lục giác đều đã cho.

Lời giải chi tiết

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 3cm có bán kính là: \(R = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.3 = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

Vậy lục giác đều có cạnh \(a = R = \sqrt 3 cm\).

Chu vi của lục giác đều là: \(C = 6a = 6\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

Lục giác đều là hợp của 6 tam giác đều cạnh a, chiều cao \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên có diện tích là:

\(S = 6.\frac{{ah}}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\).

Đề bài

Cho đa giác đều H có 12 cạnh, nội tiếp một đường tròn (O). Kẻ các đoạn thẳng nối O với các đỉnh của H và thu được 12 góc nhọn tại đỉnh O (không chồng lên nhau).

a) Chứng tỏ rằng mỗi góc nhọn này có số đo bằng \({30^o}\).

b) Hãy chỉ ra 12 phép quay giữ nguyên H.

Lời giải chi tiết

a) Các đoạn thẳng nối O với các đỉnh của H và thu được 12 góc nhọn tại đỉnh O (không chồng lên nhau). Mỗi góc nhọn này là một góc ở tâm của (O) và chắn một cung bằng \(\frac{1}{{12}}\) đường tròn, do đó mỗi góc nhọn này có số đo bằng \(\frac{{{{360}^o}}}{{12}} = {30^o}\).

b) 12 phép quay giữ nguyên H là các phép quay thuận chiều lần lượt 30^o, 60^o, 90^o, 120^o, 150^o, 180^o, 210^o, 240^o, 270^o, 300^o, 330^o, 360^o với tâm O.