Bài 30. Đa giác đều

Đề bài

Những hình nào dưới đây là đa giác đều?

a) Tam giác đều;

b) Hình vuông;

c) Hình tròn;

d) Hình bình hành;

e) Hình chữ nhật;

f) Lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Các hình tam giác đều, hình vuông, lục giác đều là các đa giác đều.

Đề bài

Hình phẳng nào dưới đây có dạng đa giác đều?

Lời giải chi tiết

Hình a là hình vuông nên là đa giác đều.

Hình b là hình chữ nhật với hai cạnh kề một góc có độ dài khác nhau nên không phải hình có dạng đa giác đều.

Hình c là hình lục giác có các cạnh có độ dài không bằng nhau nên không phải là hình có dạng đa giác đều.

Hình d không có dạng đa giác lồi nên không phải hình có dạng đa giác đều.

Đề bài

Hình nào dưới đây vẽ hai điểm M, N thỏa mãn phép quay ngược chiều \({60^o}\) tâm O biến N thành M?

Lời giải chi tiết

Hình d là hình vẽ hai điểm M, N thỏa mãn phép quay ngược chiều \({60^o}\) tâm O biến N thành M.

Đề bài

Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp một đường tròn (O). Chứng minh rằng điểm O cách đều tất cả các cạnh của lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Gọi a là độ dài cạnh của lục giác đều ABCDEF. Gọi M là trung điểm của AB. Vì tam giác OAB đều nên \(OM \bot AB\) và OM là tia phân giác của góc AOB.

Suy ra: \(OM = OA.\sin \widehat {OAM} = a.\sin {60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Do đó, khoảng cách từ O đến AB bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Chứng minh tương tự ta có: khoảng cách từ O đến tất cả các cạnh của lục giác đều bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đề bài

Cho một bát giác đều (đa giác đều có 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm O. Kẻ các đoạn thẳng nối O với các đỉnh của đa giác và chia đa giác thành 8 tam giác nhỏ cân tại đỉnh O. Ba góc của mỗi tam giác nhỏ có số đo bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi AB là một cạnh tùy ý của bát giác đều.

Góc AOB là góc ở tâm của đường tròn (O) chắn một cung bằng \(\frac{1}{8}\) đường tròn.

Do đó, \(\widehat {AOB} = \frac{{{{360}^o}}}{8} = {45^o}\).

Vì \(\Delta \)AOB cân tại O (do \(OA = OB\)) nên

\(\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {OAB} + \widehat {OBA}} \right) \\= \frac{1}{2}\left( {{{180}^o} - \widehat {AOB}} \right) = {67,5^o}\)

Đề bài

Cho A’, B’, C’, D’, E’, F’ là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là một lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Tam giác F’AA’ và A’BB’ có:

\(AF' = \frac{{AF}}{2} = \frac{{AB}}{2} = BA'\),

\(AA' = \frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{2} = BB'\),

\(\widehat {F'AA'} = \widehat {FAB} = \widehat {ABC} = \widehat {A'BB'}\)

Do đó, $\Delta F’AA’=\Delta A’BB’\left( c.g.c \right)$, suy ra \(F'A' = A'B'\).

Chứng minh tương tự ta có: \(A'B' = B'C' = C'D' = D'E' = E'F' = F'A'\) (1)

Vì lục giác đều ABCDEF nội tiếp một đường tròn và mỗi góc của lục giác đều chắn một cung bằng \(\frac{4}{6}\) đường tròn đó.

Do đó, \(\widehat {F'AA'} = \widehat {A'BB'} = \frac{1}{2}.\frac{4}{6}{.360^o} = {120^o}\).

Ta có:

\(\widehat {F'A'B'} = {180^o} - \widehat {F'A'A} - \widehat {B'A'B} \\= {180^o} - \frac{1}{2}\left( {{{180}^o} - \widehat {F'AA'}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{{180}^o} - \widehat {A'BB'}} \right) \\= {120^o}\)

Tương tự ta có các góc còn lại của lục giác A’B’C’D’E’F’ bằng \({120^o}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: Lục giác A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều.

Đề bài

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.14. Hãy cho biết các phép quay thuận chiều lần lượt \({120^o};{240^o};{360^o}\) với tâm O biến các đỉnh A, B, C thành những điểm nào.

Lời giải chi tiết

Phép quay thuận chiều \({120^o}\) tâm O biến các đỉnh A, B, C lần lượt thành các đỉnh C, A, B.

Phép quay thuận chiều \({240^o}\) tâm O biến các đỉnh A, B, C lần lượt thành các đỉnh B, C, A.

Phép quay thuận chiều \({360^o}\) tâm O biến các đỉnh A, B, C lần lượt thành các đỉnh A, B, C.

Đề bài

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.15. Hãy cho biết các phép quay ngược chiều \({90^o};{180^o};{270^o};{360^o}\) với tâm O biến các đỉnh A, B, C, D thành những điểm nào.

Lời giải chi tiết

Phép quay ngược chiều \({90^o}\) tâm O biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh D, A, B, C.

Phép quay ngược chiều \({180^o}\) tâm O biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh C, D, A, B.

Phép quay ngược chiều \({270^o}\) tâm O biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh B, C, D, A.

Phép quay ngược chiều \({360^o}\) tâm O biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A, B, C, D.

Đề bài

Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O.

a) Chứng tỏ ACE là tam giác đều.

b) Liệt kê ba phép quay giữ nguyên tam giác đều ACE.

c) Liệt kê sáu phép quay giữ nguyên lục giác đều ABCDEF.

Lời giải chi tiết

a) Mỗi góc của tam giác ACE là một góc nội tiếp của (O) và chắn một cung bằng \(\frac{2}{6}\) của đường tròn. Do đó, mỗi góc của tam giác ACE có độ lớn bằng: \(\frac{1}{2}.\frac{2}{6}{.360^o} = {60^o}\). Do đó, tam giác ACE đều.

b) Vì tam giác ACE đều nội tiếp (O) nên các phép quay thuận chiều lần lượt \({120^o}{,240^o}{,360^o}\) với tâm O giữ nguyên tam giác đều ACE.

c) Sáu phép quay giữ nguyên lục giác đều ABCDEF là các phép quay thuận chiều lần lượt \({60^o}{,120^o}{,180^o}{,240^o}{,300^o}{,360^o}\) với tâm O.

Đề bài

Một phép quay thuận chiều \({120^o}\) tâm O biến điểm A thành điểm B, biến điểm B thành điểm C. Chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(OA = OB = OC\) nên tam giác ABC nội tiếp (O) và các cung nhỏ AB, BC có số đo bằng \({120^o}\).

Vì góc ACB và góc BAC là các góc nội tiếp đường tròn (O) lần lượt chắn các cung nhỏ AB, BC nên \(\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\)sđ$\overset\frown{AB}$_nhỏ\( = {60^o}\), \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\)sđ$\overset\frown{BC}$ _nhỏ \( = {60^o}\).

Tam giác ABC có: \(\widehat {ABC} = {180^o} - \widehat {ACB} - \widehat {BAC} = {60^o}\).

Tam giác ABC có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {CAB} = {60^o}\) nên tam giác ABC đều.

Đề bài

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

a) Tìm một phép quay biến điểm A thành điểm B và biến điểm B thành điểm A.

b) Phép quay thuận chiều \({90^o}\) tâm O biến A thành C và biến B thành D. Chứng tỏ rằng ACBD là một hình vuông.

Lời giải chi tiết

a) Phép quay thuận chiều \({180^o}\) tâm O biến điểm A thành B và biến B thành A.

b) Vì \(OA = OB = OC = OD\) nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), bán kính \(\frac{{AB}}{2}\).

Vì \(\widehat {AOC} = \widehat {BOD} = {90^o}\) nên OC và OD cùng vuông góc với AB. Do đó, O, C, D thẳng hàng. Suy ra, CD là đường kính của (O). Suy ra, \(\widehat {ACB} = \widehat {CBD} = \widehat {BDA} = \widehat {DAC} = {90^o}\) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn của (O)). Suy ra, ACBD là hình chữ nhật (1).

Hơn nữa, \(\Delta AOC = \Delta COB = \Delta BOD = \Delta DOA\) (các tam giác vuông cân tại đỉnh O có các cạnh góc vuông bằng nhau) nên \(AC = CB = BD = DA\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: ACBD là hình vuông.