Bài 27. Góc nội tiếp

Đề bài

Hình nào dưới đây vẽ một góc nội tiếp của đường tròn?

Lời giải chi tiết

Hình a, b, d đều có đỉnh không nằm trên đường tròn nên đó không phải là góc nội tiếp.

Hình c vẽ góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn nên là góc nội tiếp.

Đề bài

Cho điểm A nằm trên cung lớn BC của đường tròn (O) và kí hiệu $\overset\frown{BC}$ là cung nhỏ BC. Vẽ bảng sau vào vở và viết số đo còn lại của các góc hoặc cung tương ứng vào ô trống trong mỗi trường hợp:

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho AB và CD là hai đường kính của đường tròn (O). Biết rằng \(\widehat {AOC} = {80^o}\), tính số đo của các góc ABC, ADC và ABD.

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn (O):

+ Hai góc nội tiếp ABC, ADC và góc ở tâm AOC cùng chắn cung nhỏ AC nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC} = {40^o}\).

+ Góc nội tiếp ABD và góc ở tâm AOD cùng chắn cung nhỏ AD nên \(\widehat {ABD} = \frac{1}{2}\widehat {AOD} = \frac{1}{2}\left( {{{180}^o} - \widehat {AOC}} \right) = {50^o}\).

Đề bài

Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại X. Tính số đo các góc của tam giác AXC, biết rằng \(\widehat {XBD} = {60^o},\widehat {XDB} = {70^o}\).

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn (O):

+ Hai góc ACX và XBD cùng chắn cung nhỏ AD nên \(\widehat {ACX} = \widehat {XBD} = {60^o}\).

+ Hai góc CAX và XDB cùng chắn cung nhỏ CB nên \(\widehat {CAX} = \widehat {XDB} = {70^o}\).

Tam giác AXC có: \(\widehat {CAX} + \widehat {ACX} + \widehat {CXA} = {180^o}\) nên \(\widehat {CXA} = {180^o} - \widehat {CAX} - \widehat {ACX} = {50^o}\).

Đề bài

Cho hai điểm B, C nằm trên đường tròn (O) và cho điểm A nằm trên cung lớn $\overset\frown{BC}$. Biết rằng \(\widehat {OBA} = {30^o},\widehat {OCA} = {40^o}\). Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Tam giác OAB cân tại O (do \(OA = OB\)) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {30^o}\).

Lại có: \(\widehat {OAB} + \widehat {OBA} + \widehat {AOB} = {180^o}\) nên \(\widehat {AOB} = {180^o} - \widehat {OAB} - \widehat {OBA} = {120^o}\).

Tam giác OAC cân tại O (do \(OA = OC\)) nên \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {40^o}\).

Lại có: \(\widehat {OAC} + \widehat {OCA} + \widehat {AOC} = {180^o}\) nên \(\widehat {AOC} = {180^o} - \widehat {OAC} - \widehat {OCA} = {100^o}\).

Xét đường tròn (O):

+ Góc nội tiếp ABC và góc ở tâm AOC cùng chắn cung nhỏ AC nên \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC} = {50^o}\).

+ Góc nội tiếp ACB và góc ở tâm AOB cùng chắn cung nhỏ AB nên \(\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).

Tam giác ABC có: \(\widehat {CAB} + \widehat {ACB} + \widehat {CBA} = {180^o}\) nên \(\widehat {CAB} = {180^o} - \widehat {ABC} - \widehat {ACB} = {70^o}\).

Đề bài

Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho C khác A, B. Lấy E là điểm đối xứng của A qua C. Chứng minh rằng \(BE = BA\).

Lời giải chi tiết

Vì ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên \(\widehat {ACB} = {90^o}\), suy ra \(BC \bot AE\) nên \(\widehat {BCE} = {90^o}\).

Vì E đối xứng của A qua C nên \(CA = CE\).

Tam giác BCA và tam giác BCE có: \(\widehat {BCA} = \widehat {BCE} = {90^o}\), \(CA = CE\), BC chung.

Suy ra \(\Delta BCA = \Delta BCE\left( {c.g.c} \right)\). Do đó, \(BE = BA\).

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC cân tại A. Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC, BC của tam giác ABC tại X và Y (X khác A, Y khác B).

a) Chứng minh rằng tam giác CXY cân tại Y.

b) Cho BX cắt AY tại K. Chứng minh rằng CK vuông góc với AB.

Lời giải chi tiết

a) Vì góc AXB và góc AYB là các góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn đường kính AB nên \(\widehat {AXB} = \widehat {AYB} = {90^o}\). Do đó, \(AY \bot BC,BX \bot AC\).

Vì tam giác ABC cân tại A nên AY là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó, Y là trung điểm của BC.

Suy ra, Y là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông BXC vuông tại X. Do đó, \(YC = YX\).

Suy ra, tam giác CXY cân tại Y.

b) Vì AY, BX là các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác ABC. Do đó, CK vuông góc với AB.