Bài tập cuối chương VI

Trả lời câu hỏi Câu 1 trang 18 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. \(y = {x^2}\).

B. \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\).

C. \(y = \frac{1}{4}{x^2}\).

D. \(y = \frac{1}{3}{x^2}\).

Phương pháp giải:

Nhận thấy điểm (3; 3) vừa thuộc đồ thị hàm số trong hình vẽ, vừa thuộc hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^2}\) nên đồ thị hàm số trong hình vẽ là \(y = \frac{1}{3}{x^2}\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm trong hình vẽ đi qua điểm (3; 3). Trong các hàm số trên, điểm (3; 3) chỉ thuộc hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^2}\) nên hình vẽ là đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^2}\).

Chọn D

Trả lời câu hỏi Câu 2 trang 18 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hàm số \(y =  - \frac{2}{5}{x^2}\) có đồ thị là parabol (P). Điểm trên (P) khác gốc tọa độ O (0; 0) có tung độ gấp ba lần hoành độ thì có hoành độ là

A. \( - \frac{{15}}{2}\).

B. \(\frac{{15}}{2}\).

C. \(\frac{2}{{15}}\).

D. \( - \frac{2}{{15}}\).

Phương pháp giải:

+ Gọi tọa độ của điểm cần tìm là B(x; 3x) (với \(x \ne 0\)).

+ Vì B thuộc parabol (P) nên ta có: \(3x =  - \frac{2}{5}{x^2}\).

+ Giải phương trình thu được tìm được x.

Lời giải chi tiết:

Gọi tọa độ của điểm cần tìm là B (x; 3x) (với \(x \ne 0\)). Vì B thuộc parabol (P) nên ta có: \(3x =  - \frac{2}{5}{x^2}\)

\(\frac{2}{5}{x^2} + 3x = 0\)

\(x\left( {\frac{2}{5}x + 3} \right) = 0\)

\(x = 0\) (loại) hoặc \(\frac{2}{5}x + 3 = 0\)

\(x = \frac{{ - 15}}{2}\)

Vậy điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán có hoành độ là \( - \frac{{15}}{2}\).

Chọn A

Trả lời câu hỏi Câu 3 trang 18 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Trong các điểm A(1; -2), B(-1; -1), C(10; -200), \(D\left( {\sqrt {10} ; - 20} \right)\), có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị của hàm số \(y =  - 2{x^2}\)?

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\), nếu đẳng thức thu được đúng thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Thay \(x = 1;y =  - 2\) vào \(y =  - 2{x^2}\) ta có: \( - 2 =  - {2.1^2}\) (luôn đúng) nên điểm A(1; -2) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

Thay \(x =  - 1;y =  - 1\) vào \(y =  - 2{x^2}\) ta có: \( - 1 =  - 2.{\left( { - 1} \right)^2}\) (vô lí) nên điểm B(-1; -1) không thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

Thay \(x = 10;y =  - 200\) vào \(y =  - 2{x^2}\) ta có: \( - 200 =  - {2.10^2}\) (luôn đúng) nên điểm C(10; -200) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

Thay \(x = \sqrt {10} ;y =  - 20\) vào \(y =  - 2{x^2}\) ta có: \( - 20 =  - 2.{\left( {\sqrt {10} } \right)^2}\) (luôn đúng) nên điểm \(D\left( {\sqrt {10} ; - 20} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

Vậy ba điểm A(1; -2), C(10; -200), \(D\left( {\sqrt {10} ; - 20} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

Chọn C

Trả lời câu hỏi Câu 4 trang 19 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Tọa độ một giao điểm của parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = x + \frac{3}{2}\) là

A. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\).

B. \(\left( {\frac{1}{2};2} \right)\).

C. \(\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\).

D. \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

Phương pháp giải:

+ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: \(\frac{1}{2}{x^2} = x + \frac{3}{2}\).

+ Giải phương trình thu được tìm được x.

+ Thay x tìm được vào \(y = x + \frac{3}{2}\), từ đó tìm được tọa độ giao điểm của d và (P).

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: \(\frac{1}{2}{x^2} = x + \frac{3}{2}\), suy ra \({x^2} - 2x - 3 = 0\).

Vì \(1 + 2 - 3 = 0\) nên phương trình \({x^2} - 2x - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{3}{1} = 3\).

Với \(x =  - 1\) thay vào \(y = x + \frac{3}{2}\) ta có: \(y =  - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\).

Với \(x = 3\) thay vào \(y = x + \frac{3}{2}\) ta có: \(y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\).

Do đó, tọa độ một giao điểm của parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = x + \frac{3}{2}\) là \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

Chọn D

Trả lời câu hỏi Câu 5 trang 19 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Để điểm \(A\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }};m\sqrt 5 } \right)\) nằm trên parabol \(y =  - \sqrt 5 {x^2}\) thì giá trị của m bằng

A. \(m =  - \frac{5}{2}\).

B. \(m = \frac{2}{5}\).

C. \(m =  - \frac{2}{5}\).

D. \(m = \frac{5}{2}\).

Phương pháp giải:

Thay \(x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }};y = m\sqrt 5 \) vào \(y =  - \sqrt 5 {x^2}\), thu được phương trình ẩn m, giải phương trình đó để tìm m.

Lời giải chi tiết:

Để điểm A nằm trên parabol thì: \(m\sqrt 5  =  - \sqrt 5 .{\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\), suy ra \(m = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}:\sqrt 5  = \frac{{ - 2}}{5}\).

Chọn C

Trả lời câu hỏi Câu 6 trang 19 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Cho parabol (P): \(y = \left( {m - \frac{3}{4}} \right){x^2}\), với \(m \ne \frac{3}{4}\) và đường thẳng \(y = 3x - 5\). Biết đường thẳng d cắt (P) tại một điểm có tung độ \(y = 1\). Tìm m và hoành độ giao điểm còn lại của d và (P).

A. \(m = 0;x = 2\).

B. \(m = 1;x = 2\).

C. \(m = 1;x = 10\).

D. \(m = \frac{5}{4};x = 10\).

Phương pháp giải:

+ Gọi D là giao điểm của d và (P).

+ Vì d cắt (P) tại một điểm có tung độ \(y = 1\) nên ta có: \(1 = 3.x - 5\), từ đó tìm được x và tìm được tọa độ của D.

+ Thay tọa độ điểm D vào \(y = \left( {m - \frac{3}{4}} \right){x^2}\), thu được phương trình ẩn m, giải phương trình tìm được m.

Lời giải chi tiết:

Gọi D là giao điểm của d và (P). Vì đường thẳng d cắt (P) tại một điểm có tung độ \(y = 1\) nên ta có: \(1 = 3.x - 5\), suy ra \(x = 2\). Do đó, D(2; 1).

Vì D(2; 1) thuộc (P) nên ta có: \(1 = \left( {m - \frac{3}{4}} \right){.2^2}\), suy ra \(4m - 3 = 1\), suy ra \(m = 1\).

Chọn B

Trả lời câu hỏi Câu 7 trang 19 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Không giải phương trình, hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình \( - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\).

A. \( - \frac{5}{6}\).

B. \(\frac{5}{3}\).

C. \( - \frac{5}{3}\).

D. \(\frac{5}{6}\).

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\).  Nếu \(\Delta  > 0\) thì áp dụng định lí Viète để tính tổng các nghiệm \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\Delta  = {5^2} - 4.\left( { - 3} \right).1 = 37 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm. Theo định lí Viète ta có tổng hai nghiệm của phương trình là: \(\frac{{ - 5}}{{ - 3}} = \frac{5}{3}\)

Chọn B

Trả lời câu hỏi Câu 8 trang 19 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \( - {x^2} - 4x + 6 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{{x_1} + 2}} + \frac{1}{{{x_2} + 2}}\).

A. \(M = 0\).

B. \(M = 1\).

C. \(M = 4\).

D. \(M =  - 2\).

Phương pháp giải:

+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).

+ Biến đổi \(M = \frac{{{x_2} + 2 + {x_1} + 2}}{{\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}\), với \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) đã tính ở trên, ta tính M.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M = \frac{{{x_2} + 2 + {x_1} + 2}}{{\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}\)

Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - \left( { - 4} \right)}}{{ - 1}} =  - 4;{x_1}.{x_2} = \frac{6}{{ - 1}} =  - 6\). Do đó, \(M = \frac{{ - 4 + 4}}{{ - 6 + 2.\left( { - 4} \right) + 4}} = 0\).

Chọn A

Trả lời câu hỏi Câu 9 trang 19 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

A. \(m \le  - 1\).

B. \(m =  - 1\).

C. \(m >  - 1\).

D. \(m <  - 1\).

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0\) nên \({\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 1.\left( {{m^2} - 3m + 5} \right) > 0\)

\({m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 3m - 5 > 0\)

\( - m - 1 > 0\)

\(m <  - 1\)

Chọn D

Trả lời câu hỏi Câu 10 trang 19 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Nếu hai số u, v có tổng là 7 và tích là -8 thì chúng là hai nghiệm của phương trình nào?

A. \({x^2} + 7x - 8 = 0\).

B. \({x^2} - 7x - 8 = 0\).

C. \({x^2} + 7x + 8 = 0\).

D. \({x^2} - 7x + 8 = 0\).

Phương pháp giải:

Hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\) (điều kiện \({S^2} - 4P \ge 0\)).

Lời giải chi tiết:

Nếu hai số u và v có tổng là 7 và tích là -8 thì chúng là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 7x - 8 = 0\)

Chọn B

Đề bài

Cho hai hàm số: \(y =  - \frac{3}{2}{x^2}\) và \(y = {x^2}\).

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm điểm A nằm trên đồ thị của hàm số \(y =  - \frac{3}{2}{x^2}\) và điểm B nằm trên đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\), biết rằng chúng đều có hoành độ \(x = \frac{3}{2}\).

c) Gọi A’, B’ lần lượt là các điểm đối xứng của A, B qua trục tung Oy. Tìm tọa độ của A’, B’ và chứng minh hai điểm này tương ứng nằm trên hai đồ thị của hàm số đi qua A, B.

Lời giải chi tiết

a) + Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - \frac{3}{2}{x^2}\):

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y.

Biểu diễn các điểm \(\left( { - 2; - 6} \right);\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1; - \frac{3}{2}} \right),\left( {2; - 6} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại ta được đồ thị hàm số \(y =  - \frac{3}{2}{x^2}\).

+ Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2}\):

Lập bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y.

 

Biểu diễn các điểm \(\left( { - 2;4} \right);\left( { - 1;1} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1;1} \right);\left( {2;4} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại ta được đồ thị hàm số \(y = {x^2}\).

 

b) Thay \(x = \frac{3}{2}\) vào \(y =  - \frac{3}{2}{x^2}\) ta có \(y =  - \frac{3}{2}.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{ - 27}}{8}\) nên \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 27}}{8}} \right)\).

Thay \(x = \frac{3}{2}\) vào \(y = {x^2}\) ta có: \(y = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\) nên \(B\left( {\frac{3}{2};\frac{9}{4}} \right)\).

c) Vì A’ đối xứng với \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 27}}{8}} \right)\) qua trục tung Oy nên \(A'\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 27}}{8}} \right)\).

Vì B’ đối xứng với \(B\left( {\frac{3}{2};\frac{9}{4}} \right)\) qua trục tung Oy nên \(B'\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{9}{4}} \right)\).

Thay \(x = \frac{{ - 3}}{2};y = \frac{{ - 27}}{8}\) vào \(y =  - \frac{3}{2}{x^2}\) ta có: \(\frac{{ - 27}}{8} =  - \frac{3}{2}.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2}\) (luôn đúng) nên A’ thuộc đồ thị của hàm số \(y =  - \frac{3}{2}{x^2}\).

Thay \(x = \frac{{ - 3}}{2};y = \frac{9}{4}\) vào \(y = {x^2}\) ta có: \(\frac{9}{4} = {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2}\) (luôn đúng) nên B’ thuộc đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\).

Đề bài

Cho phương trình: \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 3x + 1 = 0\).

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

b) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho là phương trình bậc hai.

c) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho:

- Có hai nghiệm phân biệt;

- Có nghiệm kép;

- Vô nghiệm.

Lời giải chi tiết

\(\left( {m + 1} \right){x^2} - 3x + 1 = 0\) (1)

a) Với \(m = 1\) vào phương trình (1) ta có: \(\left( {1 + 1} \right){x^2} - 3x + 1 = 0\), suy ra \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\).

Vì \(2 - 3 + 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{1}{2}\).

b) Để phương trình (1) là phương trình bậc hai thì \(m + 1 \ne 0\), suy ra \(m \ne  - 1\).

c) Với \(m =  - 1\) phương trình (1) trở thành: \( - 3x + 1 = 0\), suy ra \(x = \frac{1}{3}\).

Với \(m \ne  - 1\):

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( {m + 1} \right) = 5 - 4m\)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta  > 0\), suy ra \(5 - 4m > 0\), suy ra \(m < \frac{5}{4}\).

Phương trình (1) có nghiệm kép khi \(\Delta  = 0\), suy ra \(5 - 4m = 0\), suy ra \(m = \frac{5}{4}\).

Phương trình (1) vô nghiệm khi \(\Delta  < 0\), suy ra \(5 - 4m < 0\), suy ra \(m > \frac{5}{4}\).

Vậy với \(m < \frac{5}{4}\), \(m \ne  - 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, với \(m = \frac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có nghiệm kép, với \(m > \frac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có vô nghiệm.

Đề bài

Tìm hai số u và v, biết:

a) \(u - v = 2,uv = 255\);

b) \({u^2} + {v^2} = 346,uv = 165\).

Lời giải chi tiết

a) Từ \(u - v = 2\) ta có: \(u = 2 + v\).

Thay \(u = 2 + v\) vào \(uv = 255\) ta nhận được phương trình \(\left( {2 + v} \right)v = 255\), hay \({v^2} + 2v - 255 = 0\).

Ta có: \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 255} \right) = 256 > 0,\sqrt \Delta   = 16\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm: \({v_1} = \frac{{ - 1 + 16}}{1} = 15;{v_2} = \frac{{ - 1 - 16}}{1} =  - 17\).

Vậy cặp số (u; v) cần tìm là \(\left( {17;15} \right)\) hoặc \(\left( { - 15; - 17} \right)\).

b) Ta có: \({\left( {u + v} \right)^2} = {u^2} + 2uv + {v^2} = 346 + 2.165 = 676\). Do đó, \(u + v = 26\) hoặc \(u + v =  - 26\).

Nếu \(u + v = 26\) thì hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 26x + 165 = 0\).

Ta lại có: \(\Delta ' = {\left( { - 13} \right)^2} - 1.165 = 4 > 0,\sqrt \Delta   = 2\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{13 + 2}}{1} = 15;{x_2} = \frac{{13 - 2}}{1} = 11\).

Nếu \(u + v =  - 26\) hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - \left( { - 26} \right)x + 165 = 0\).

Ta có: \(\Delta ' = {13^2} - 1.165 = 4 > 0,\sqrt \Delta   = 2\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 13 + 2}}{1} =  - 11;{x_2} = \frac{{ - 13 - 2}}{1} =  - 15\).

Vậy \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {11;15} \right);\left( {15;11} \right);\left( { - 15; - 11} \right);\left( { - 11; - 15} \right)} \right\}.\)

Đề bài

Phương trình cầu đối với một sản phẩm là \(p = 60 - 0,0004x\), trong đó p là giá tiền của mỗi sản phẩm (USD) và x là số lượng sản phẩm đã bán. Tổng doanh thu cho việc bán x sản phẩm này là:

\(R\left( x \right) = xp = x\left( {60 - 0,0004x} \right)\).

Hỏi phải bán bao nhiêu sản phẩm để doanh thu đạt được là 220 000USD?

Lời giải chi tiết

Để doanh thu đạt được là 220 000USD thì \(x\left( {60 - 0,0004x} \right) = 220\;000\)

\(0,0004{x^2} - 60x + 220\;000 = 0\)

Vì \(\Delta ' = {\left( { - 30} \right)^2} - 220\;000.0,0004 = 812\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{30 + \sqrt {812} }}{{0,0004}} \approx 146\;239,03\); \({x_2} = \frac{{30 - \sqrt {812} }}{{0,0004}} \approx 3\;760,97\).

Vậy để doanh thu đạt được là 220 000USD thì cần bán khoảng 146 240 sản phẩm với giá mỗi sản phẩm khoảng \(p = 60 - 0,004.146\;240 \approx 1,5 USD\) hoặc 3 761 sản phẩm với giá mỗi sản phẩm khoảng \(p = 60 - 0,004.3\;761 \approx 58,5 USD\)

Đề bài

Độ cao h(t) (feet) của một vật sau t giây kể từ khi nó được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 85feet/giây được cho bởi công thức \(h\left( t \right) =  - 16{t^2} + 85t\).

a) Khi nào thì vật ở độ cao 50 feet?

b) Vật có bao giờ đạt đến độ cao 120feet không? Giải thích lí do.

Lời giải chi tiết

a) Thay \(h = 50\) vào \(h\left( t \right) =  - 16{t^2} + 85t\) ta có: \( - 16{t^2} + 85t = 50\), suy ra \(16{t^2} - 85t + 50 = 0\).

Vì \(\Delta  = {\left( { - 85} \right)^2} - 4.16.50 = 4\;025\) nên phương trình có hai nghiệm \({t_1} = \frac{{85 + \sqrt {4025} }}{{2.16}} = \frac{{85 + 5\sqrt {161} }}{{32}} > 0\); \({t_2} = \frac{{85 - \sqrt {4025} }}{{2.16}} = \frac{{85 - 5\sqrt {161} }}{{32}} > 0\).

Vậy khi \(t = \frac{{85 + 5\sqrt {161} }}{{32}}\), \(t = \frac{{85 - 5\sqrt {161} }}{{32}}\) thì vật ở độ cao 50 feet.

b) Thay \(h = 120\) vào \(h\left( t \right) =  - 16{t^2} + 85t\) ta có:

\( - 16{t^2} + 85t = 120\), suy ra \(16{t^2} - 85t + 120 = 0\)

Vì \(\Delta  = {\left( { - 85} \right)^2} - 4.16.120 =  - 455 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Vậy không bao giờ vật đạt đến độ cao 120feet.

Đề bài

Công thức tính huyết áp tâm thu bình thường (kí hiệu là P) của một người đàn ông ở độ tuổi A, được đo bằng mmHg, được đưa ra như sau: \(P = 0,006{A^2} - 0,02A + 120\)

(Theo Algebra and Trigonometry, Pearson Education Limited, 2014).

Tìm tuổi (làm tròn đến năm gần nhất) của người đàn ông có huyết áp bình thường là 125mmHg.

Lời giải chi tiết

Thay \(P = 125\) vào \(P = 0,006{A^2} - 0,02A + 120\) ta có:

\(0,006{A^2} - 0,02A + 120 = 125\),

suy ra \(0,006{A^2} - 0,02A - 5 = 0\),

suy ra \(3{A^2} - 10A - 2500 = 0\).

Vì \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 3.\left( { - 2500} \right) = 7\;525,\) \(\sqrt {\Delta '}  = 5\sqrt {301} \) nên phương trình có hai nghiệm \({A_1} = \frac{{5 + 5\sqrt {301} }}{3} \approx 30,6\), \({A_2} = \frac{{5 - 5\sqrt {301} }}{3}\) (loại vì \(A > 0\)).

Vậy khi người đàn ông khoảng 31 tuổi thì có huyết áp bình thường là 125mmHg.

Đề bài

Trong một giải cờ vua thi đấu vòng tròn tính điểm, mỗi người chơi đấu với một người chơi khác đúng một lần. Công thức \(N = \frac{{{x^2} - x}}{2}\) dùng để tính số ván cờ N phải chơi theo thể thức thi đấu vòng tròn một lượt khi có x người chơi.

a) Nếu một giải đấu có 10 người chơi thì có tất cả bao nhiêu ván cờ?

b) Trong một giải cờ vua thi đấu vòng tròn có tất cả 36 ván cờ, hỏi có bao nhiêu người đã tham gia giải đấu?

Lời giải chi tiết

a) Có 10 người chơi nên số ván cờ là: \(N = \frac{{{{10}^2} - 10}}{2} = 45\) (ván cờ). Vậy có 45 ván cờ trong giải đấu đó.

b) Có 36 ván cờ nên ta có \(\frac{{{x^2} - x}}{2} = 36\), suy ra \({x^2} - x - 72 = 0\).

Vì \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 72} \right) = 289\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt {289} }}{2} = 9\) (thỏa mãn \(x > 0\)), \({x_2} = \frac{{1 - \sqrt {289} }}{2} =  - 8\) (loại do \(x > 0\)).

Vậy có 9 người tham gia giải đấu thì có 36 ván cờ.

Đề bài

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước, sau \(4\frac{4}{5}\) giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu để vòi thứ nhất chảy riêng và 9 giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bề?

Lời giải chi tiết

Gọi x (giờ) là thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ nhất. Điều kiện: \(x > 9\).

Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).

Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được \(1:4\frac{4}{5} = \frac{5}{{24}}\) (bể).

Trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được \(\frac{5}{{24}} - \frac{1}{x}\) (bể).

Vì nếu lúc đầu để vòi thứ nhất chảy riêng và 9 giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể nên ta có phương trình: \(9.\frac{1}{x} + \frac{6}{5}.\frac{5}{{24}} = 1\), suy ra \(\frac{9}{x} = \frac{3}{4}\), suy ra \(x = 12\) (thỏa mãn).

Trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được \(\frac{5}{{24}} - \frac{1}{{12}} = \frac{1}{8}\) (bể).

Vậy nếu chảy một mình thì vòi thứ nhất sau 12 giờ chảy đầy bể, vời thứ hai chảy một mình thì sau 8 giờ đầy bể.