Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Đề bài

Một bức ảnh hình chữ nhật có chiều rộng 8cm và chiều dài 12cm. Bức ảnh được phóng to bằng cách tăng chiều dài và chiều rộng thêm một đoạn bằng nhau để tăng gấp đôi diện tích của bức ảnh. Tìm kích thước của bức ảnh mới.

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài của đoạn thẳng tăng thêm ở cả chiều dài và chiều rộng là x (cm). Điều kiện: \(x > 0\).

Diện tích của bức ảnh ban đầu là: \(12.8 = 96\left( {c{m^2}} \right)\).

Chiều dài của bức ảnh sau khi phóng to là \(x + 12\left( {cm} \right)\).

Chiều rộng của bức ảnh sau khi phóng to là \(x + 8\left( {cm} \right)\).

Diện tích của bức ảnh sau khi phóng to là \(\left( {x + 8} \right)\left( {x + 12} \right)\left( {c{m^2}} \right)\).

Vì diện tích của bức ảnh phóng to tăng gấp đôi diện tích của bức ảnh ban đầu nên ta có phương trình:

\(\left( {x + 8} \right)\left( {x + 12} \right) = 2.96\)

\({x^2} + 20x - 96 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {10^2} - 1.\left( { - 96} \right) = 196\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - 10 + \sqrt {196} }}{1} = 4\) (thỏa mãn); \({x_2} = \frac{{ - 10 - \sqrt {196} }}{1} =  - 24\) (không thỏa mãn).

Vậy chiều dài và chiều rộng của bức ảnh mới lần lượt là: \(12 + 4 = 16\left( {cm} \right);8 + 4 = 12\left( {cm} \right)\).

Đề bài

Hình chữ nhật vàng là hình chữ nhật có thể chia thành một hình vuông và hình chữ nhật thứ hai có các kích thước tỉ lệ với các kích thước tương ứng của hình chữ nhật ban đầu (với cùng hệ số tỉ lệ). Tỉ số x giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật vàng được gọi là tỉ lệ vàng.

a) Tính tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật EBCF.

b) Tìm giá trị chính xác của tỉ lệ vàng bằng cách đặt hai tỉ số ở câu a bằng nhau rồi tìm x.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử hình chữ nhật ABCD có chiều rộng \(AD = BC = 1cm\) và chiều dài \(AB = CD = x\left( {cm} \right)\). Điều kiện \(x > 1\). Do đó tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD là \(\frac{x}{1}\).

Từ hình vẽ ta thấy chiều dài của hình chữ nhật EBCF là \(AD = EF = 1cm\) và chiều rộng là \(EB = FC = x - 1\left( {cm} \right)\). Do đó, tỉ số chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật EBCF là: \(\frac{1}{{x - 1}}\).

b) Theo đề bài ta có phương trình: \(\frac{x}{1} = \frac{1}{{x - 1}}\)

Nhân hai vế của phương trình này với \(x - 1\) để khử mẫu ta được \(x\left( {x - 1} \right) = 1\) hay \({x^2} - x - 1 = 0\).

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 5\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) (thỏa mãn) và \({x_2} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\) (không thỏa mãn).

Vậy tỉ lệ vàng là \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

Đề bài

Một phòng họp lúc đầu có một số dãy ghế với tổng cộng 40 chỗ ngồi. Do phải sắp xếp 55 chỗ ngồi cho một cuộc họp nên người ta kê thêm một dãy ghế và mỗi dãy ghế sắp xếp thêm một chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phòng họp đó?

Lời giải chi tiết

Gọi số dãy ghế trong phòng họp lúc đầu là x (dãy). Điều kiện (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))

Số chỗ ngồi ở mỗi dãy ghế ban đầu là \(\frac{{40}}{x}\) (chỗ ngồi).

Số chỗ ngồi ở mỗi dãy ghế sau khi kê thêm một dãy ghế cho 55 người ngồi là \(\frac{{55}}{{x + 1}}\) (chỗ ngồi).

Do phải sắp xếp 55 chỗ ngồi cho một cuộc họp nên người ta kê thêm một dãy ghế và mỗi dãy ghế sắp xếp thêm một chỗ ngồi nên ta có phương trình:

\(\frac{{55}}{{x + 1}} - \frac{{40}}{x} = 1\)

\(\frac{{55x}}{x(x + 1)} - \frac{{40(x+1)}}{x(x+1)} = \frac{{x(x+1)}}{x(x+1)}\)

\(55x - 40\left( {x + 1} \right) = x\left( {x + 1} \right)\)

\(55x-40x-40={x^2}+x\)

\({x^2} - 14x + 40 = 0\)

Vì \(\Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 1.40 = 9\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{7 + \sqrt 9 }}{1} = 10\) (thỏa mãn) và \({x_2} = \frac{{7 - \sqrt 9 }}{1} = 4\) (thỏa mãn).

Vậy trong phòng họp ban đầu có 4 dãy ghế, mỗi dãy có 10 chỗ ngồi hoặc có 10 dãy ghế, mỗi dãy có 4 chỗ ngồi

Đề bài

Hai anh em Hùng và Nam được mẹ giao nhiệm vụ dọn nhà. Nếu cả hai anh em cùng làm thì mất \(2\frac{2}{5}\) giờ để dọn xong nhà. Nếu làm một mình thì tổng cộng thời gian của cả hai anh em để dọn xong là 10 giờ. Hỏi mỗi người cần bao nhiêu thời gian để dọng xong nhà khi làm một mình? (Biết rằng Hùng làm nhanh hơn Nam).

Lời giải chi tiết

Gọi x (giờ) là thời gian Hùng cần để dọn xong nhà khi làm một mình. Điều kiện: \(0 < x < 5\).

Thời gian Nam cần để dọn xong nhà khi làm một mình là \(10 - x\) (giờ).

Ta coi việc dọn nhà mà Hùng và Nam phải làm xong là 1 (công việc).

Trong một giờ, Hùng làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Trong một giờ, Nam làm được \(\frac{1}{{10 - x}}\) (công việc).

Trong một giờ, Nam và Hùng làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{10 - x}}\) (công việc).

Vì cả hai anh em cùng làm thì mất \(2\frac{2}{5} = \frac{{12}}{5}\) giờ để dọn xong nhà nên trong một giờ cả hai anh em làm được \(1:\frac{{12}}{5} = \frac{5}{{12}}\) (công việc).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{10 - x}} = \frac{5}{{12}}\)

Nhân hai vế của phương trình này với \(12x\left( {10 - x} \right)\) để khử mẫu ta được \(12\left( {10 - x} \right) + 12x = 5x\left( {10 - x} \right)\)

\(5{x^2} - 50x + 120 = 0\)

\({x^2} - 10x + 24 = 0\)

Vì \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.24 = 1\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt 1 }}{1} = 6\) (loại), \({x_2} = \frac{{5 - \sqrt 1 }}{1} = 4\) (thỏa mãn).

Vậy Hùng cần 4 giờ, Nam cần 6 giờ để dọn xong nhà khi làm một mình.

Đề bài

Một cái hộp không có nắp được làm từ mảnh bìa hình chữ nhật có kích thước \(30cm \times 40cm\) bằng cách cắt ở bốn góc của mảnh bìa bốn hình vuông bằng nhau. Diện tích phần đáy hộp là 336\(c{m^2}\). Tính độ dài mỗi cạnh hình vuông cắt ra ở bốn góc.

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh của hình vuông cắt ra là x (cm). Điều kiện: \(0 < x < 15\).

Sau khi cắt đi bốn hình vuông ở bốn góc và gập lên để được một hình hộp chữ nhật (không có nắp) thì đáy của hình hộp chữ nhật này có chiều rộng là \(30 - 2x\left( {cm} \right)\) và chiều dài là \(40 - 2x\left( {cm} \right)\).

Vì diện tích phần đáy hộp là 336\(c{m^2}\) nên ta có phương trình: \(\left( {30 - 2x} \right)\left( {40 - 2x} \right) = 336\)

\(4{x^2} - 140x + 864 = 0\)

\({x^2} - 35x + 216 = 0\)

Vì \(\Delta  = {\left( { - 35} \right)^2} - 4.1.216 = 361\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{35 - \sqrt {361} }}{2} = 8\) (thỏa mãn) và \({x_2} = \frac{{35 + \sqrt {361} }}{2} = 27\) (loại).

Vậy độ dài cạnh của bốn hình vuông cắt ra ở bốn góc là 8cm.

Đề bài

Một người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B. Sau đó 16 phút có một ô tô đi từ B về A với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 15km/h. Xe máy gặp ô tô ở một địa điểm cách B 24km. Tính vận tốc của ô tô, biết rằng quãng đường AB dài 54km.

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc của xe máy đi từ tỉnh A đến tỉnh B là x (km/h). Điều kiện: \(x > 0\).

Vận tốc của ô tô đi từ tỉnh B về tỉnh A là \(x + 15\left( {km/h} \right).\)

Thời gian ô tô đi từ tỉnh B đến nơi gặp nhau là: \(\frac{{24}}{{x + 15}}\) (giờ).

Quãng đường AB dài 54km, sau 16 phút \( = \frac{4}{{15}}\) giờ thì xe máy gặp ô tô ở một địa điểm cách B 24km, nên quãng đường xe máy đã đi được là \(54 - 24 = 30\left( {km} \right).\)

Thời gian mà xe máy đi từ A đến nơi gặp nhau là: \(\frac{{30}}{x}\) (giờ).

Ta có phương trình \(\frac{{30}}{x} - \frac{4}{{15}} = \frac{{24}}{{x + 15}}\)

Nhân cả hai vế của phương trình này với \(15x\left( {x + 15} \right)\) để khử mẫu ta có:

\(30.15.\left( {x + 15} \right) - 4.x.\left( {x + 15} \right) = 24.15x\)

\(4{x^2} - 30x - 6\;750 = 0\)

Vì \(\Delta ' = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.\left( { - 6\;750} \right) = 27\;225\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{15 - \sqrt {27\;225} }}{4} < 0\) (loại) và \({x_2} = \frac{{15 + \sqrt {27\;225} }}{4} = 45\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ô tô là: \(45 + 15 = 60\left( {km/h} \right)\).

Đề bài

Khi pha 8 gam chất lỏng thứ nhất với 6 gam chất lỏng thứ hai thì được một dung dịch có khối lượng riêng là 0,7\(g/c{m^3}\). Biết rằng chất lỏng thứ nhất có khối lượng riêng nặng hơn 0,2\(g/c{m^3}\) so với khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai. Hãy tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng ban đầu.

Lời giải chi tiết

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là x (\(g/c{m^3}\)). Điều kiện: \(x > 0\).

Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là \(x + 0,2\) (\(g/c{m^3}\)).

Thể tích của chất lỏng thứ nhất là \(\frac{8}{{x + 0,2}}\left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích của chất lỏng thứ hai là \(\frac{6}{x}\left( {c{m^3}} \right)\).

Khối lượng hỗn hợp là 14 gam nên thể tích của hỗn hợp là: \(\frac{{14}}{{0,7}} = 20\left( {c{m^3}} \right)\).

Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{8}{{x + 0,2}} + \frac{6}{x} = 20\)

Nhân cả hai vế của phương trình trên với \(x\left( {x + 0,2} \right)\) để khử mẫu ta được:

\(8x + 6\left( {x + 0,2} \right) = 20x\left( {x + 0,2} \right)\)

\(20{x^2} + 4x = 14x + 1,2\)

\(2{x^2} - x - 0,12 = 0\)

Vì \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.2.\left( { - 0,12} \right) = 1,96\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt {1,96} }}{4} = 0,6\) (thỏa mãn) và \({x_2} = \frac{{1 - \sqrt {1,96} }}{4} < 0\) (loại).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,8\(g/c{m^3}\) và 0, 6\(g/c{m^3}\).

Đề bài

Hai chiếc máy bay khởi hành đồng thời từ một sân bay, một chiếc bay theo hướng bắc và chiếc kia bay theo hướng đông (xem hình bên). Chiếc máy bay đi về hướng bắc đang bay nhanh hơn 50 dặm một giờ so với chiếc máy bay đi về hướng đông. Sau 3 giờ, hai máy bay cách nhau 2 440 dặm. Tìm vận tốc của mỗi máy bay.

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc của máy bay đi về hướng đông là x (dặm/ giờ). Điều kiện \(x > 0\).

Vận tốc của máy bay đi về hướng bắc là \(x + 50\) (dặm/ giờ).

Sau 3 giờ, hai máy bay cách nhau 2 440 dặm nên ta có phương trình:

\({\left[ {3\left( {x + 50} \right)} \right]^2} + {\left( {3x} \right)^2} = {2440^2}\)

\(18{x^2} + 900x - 5\;931\;100 = 0\)

\(9{x^2} + 450x - 2\;965\;550 = 0\)

Vì \(\Delta ' = {225^2} - 9.\left( { - 2\;965\;550} \right) = 26\;740\;575\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 225 + \sqrt {26\;740\;575} }}{9}\) (thỏa mãn) và \({x_2} = \frac{{ - 225 - \sqrt {26\;740\;575} }}{9}\) (không thỏa mãn).

Vậy vận tốc của máy bay đi về hướng đông là \(\frac{{ - 225 + \sqrt {26\;740\;575} }}{9}\)(dặm/ giờ) và vận tốc của máy bay đi về hướng bắc là \(\frac{{225 + \sqrt {26\;740\;575} }}{9}\)(dặm/ giờ).