Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Đề bài

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) \(\sqrt 3 {x^2} - \left( {\sqrt 3  + 1} \right)x + 1 = 0\);

b) \(3{x^2} + \left( {\sqrt 5  - 1} \right)x - 4 + \sqrt 5  = 0\);

c) \(2{x^2} - 3\sqrt 5 x + 5 = 0\), biết rằng phương trình có một nghiệm là \(x = \sqrt 5 \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\sqrt 3  - \left( {\sqrt 3  + 1} \right) + 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

b) Ta có: \(3 - \sqrt 5  + 1 - 4 + \sqrt 5  = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 4 + \sqrt 5 } \right)}}{3} = \frac{{4 - \sqrt 5 }}{3}\).

c) Gọi \({x_2}\) là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có: \(\sqrt 5 .{x_2} = \frac{5}{2}\),

suy ra, \({x_2} = \frac{5}{2}:\sqrt 5  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \sqrt 5 ;{x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Đề bài

Tìm hai số u và v, biết:

a) \(u + v = 17,uv = 72\);

b) \({u^2} + {v^2} = 73,uv = 24\).

Lời giải chi tiết

a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 17x + 72 = 0\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 17} \right)^2} - 4.1.72 = 1 > 0,\sqrt \Delta   = 1\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{17 + 1}}{2} = 9;{x_2} = \frac{{17 - 1}}{2} = 8\).

Vậy \(\left( {u;v} \right) = \left( {8;9} \right)\) hoặc \(\left( {u;v} \right) = \left( {8;9} \right)\).

b) Ta có: \({u^2} + {v^2} = 73\) nên \({u^2} + 2uv + {v^2} - 2uv = 73\), suy ra \({\left( {u + v} \right)^2} - 2.24 = 73\), suy ra \({\left( {u + v} \right)^2} = 121\). Do đó, \(u + v = 11\) hoặc \(u + v =  - 11\).

TH1: \(u + v = 11\), \(uv = 24\)

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 11x + 24 = 0\).

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.1.24 = 25\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{11 + \sqrt {25} }}{2} = 8;{x_2} = \frac{{11 - \sqrt {25} }}{2} = 3\)

TH2: \(u + v =  - 11\), \(uv = 24\)

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + 11x + 24 = 0\).

Vì \(\Delta  = {11^2} - 4.1.24 = 25\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {25} }}{2} =  - 3;{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {25} }}{2} =  - 8\)

Vậy \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {8;3} \right);\left( {3;8} \right);\left( { - 8; - 3} \right);\left( { - 3; - 8} \right)} \right\}\).

Đề bài

Dùng định lí Viète, tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) \({x^2} - 8x + 15 = 0\);

b) \({x^2} + 5x + 6 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - 1.15 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 8;{x_1}.{x_2} = 15\). Suy ra \(\left( {{x_1};{x_2}} \right) \in \left\{ {\left( {3;5} \right);\left( {5;3} \right)} \right\}\).

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 3;x = 5\).

b) Vì \(\Delta ' = {5^2} - 4.1.6 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} =  - 5;{x_1}.{x_2} = 6\). Suy ra \(\left( {{x_1};{x_2}} \right) \in \left\{ {\left( { - 2; - 3} \right);\left( { - 3; - 2} \right)} \right\}\).

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  - 3;x =  - 2\).

Đề bài

Cho phương trình bậc hai (ẩn x): \({x^2} - 4x + m - 2 = 0\).

a) Tìm điều kiện của ẩn m để phương trình có nghiệm.

b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m: \(A = x_1^2 + x_2^2;B = x_1^3 + x_2^3\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( {m - 2} \right) = 6 - m\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi \(\Delta ' \ge 0\), tức là \(6 - m \ge 0\), suy ra \(m \le 6\).

b) Theo định lí Viète ta có \({x_1} + {x_2} = 4;{x_1}.{x_2} = m - 2\).

Ta có:

\(A = x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}.\)

Thay \({x_1} + {x_2} = 4;{x_1}.{x_2} = m - 2\) vào A ta có:

\(A = {4^2} - 2\left( {m - 2} \right) = 20 - 2m\).

\(B = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

Thay \({x_1} + {x_2} = 4;{x_1}.{x_2} = m - 2\) vào B ta có:

\(B = {4^3} - 3.\left( {m - 2} \right).4 = 88 - 12m\).

Đề bài

Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm là \({x_1}\), \({x_2}\) đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{{x_1}}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}}}\).

Lời giải chi tiết

Theo định lí Viète ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).

Ta có:

\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{\frac{{ - b}}{a}}}{{\frac{c}{a}}} = \frac{{ - b}}{c};\\\frac{1}{{{x_1}}}.\frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{1}{{\frac{c}{a}}} = \frac{a}{c}.\)

Do đó, \(\frac{1}{{{x_1}}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \({y^2} + \frac{b}{c}y + \frac{a}{c} = 0\) hay \(c{y^2} + by + a = 0\).

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\), \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử như sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: \(2{x^2} - 9x + 7\); \(4{x^2} + \left( {\sqrt 2  - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2 \).

Lời giải chi tiết

Với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\), theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\). Do đó:

\(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \\= a{x^2} - a\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + a{x_1}{x_2} \\= a{x^2} - a.\frac{{ - b}}{a}.x + a.\frac{c}{a} \\= a{x^2} + bx + c.\)

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Vì \(2 - 9 + 7 = 0\) nên phương trình \(2{x^2} - 9x + 7 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{7}{2}\)

nên \(2{x^2} - 9x + 7 = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{2}} \right)\)

b) Vì \(4 - \left( {\sqrt 2  - 3} \right) - 7 + \sqrt 2  = 0\) nên phương trình \(4{x^2} + \left( {\sqrt 2  - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2  = 0\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{{7 - \sqrt 2 }}{4}\)

nên \(4{x^2} + \left( {\sqrt 2  - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2\) \( = 4\left( {x + 1} \right)\left( {x + \frac{{\sqrt 2  - 7}}{4}} \right).\)

Đề bài

Tìm m để phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

Lời giải chi tiết

Phương trình có nghiệm khi \(\Delta ' = 4 - m \ge 0\), tức là \(m \le 4\).

Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} =  - 4;{x_1}.{x_2} = m\).

Do đó:

\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( { - 4} \right)^2} - 2m \\= 16 - 2m = 10\)

Suy ra, \(2m = 6\), hay \(m = 3\) (thỏa mãn).

Vậy với \(m = 3\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đề bài

Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Biết diện tích của mảnh vườn là \(108{m^2}\), hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y(m). Điều kiện: \(0 < x < y\).

a) Vì diện tích của mảnh vườn là \(108{m^2}\) nên \(xy = 108\)

Vì bác Long dùng 48 mét lưới để rào xung quanh mảnh vườn nên tổng chiều dài và chiểu rộng là: \(2\left( {x + y} \right) = 48\) hay \(x + y = 24\).

Do đó, x và y là hai nghiệm của phương trình: \({A^2} - 24A + 108 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 12} \right)^2} - 1.108 = 36 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({A_1} = \frac{{12 + \sqrt {36} }}{1} = 18\) (thỏa mãn), \({A_2} = \frac{{12 - \sqrt {36} }}{1} = 6\) (thỏa mãn). Do đó, \(x = 6m,y = 18m\).

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6m và 18m.

b) Gọi \(S\left( {{m^2}} \right)\) là diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật mà bác Long có thể rào được.

Ta có: \(x + y = 24\), \(xy = S\).

Do đó, x và y là hai nghiệm của phương trình: \({A^2} - 24A + S = 0\) (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi \(\Delta ' = {\left( { - 12} \right)^2} - 1.S = 144 - S \ge 0\), suy ra \(S \le 144\).

Khi \(S = 144\) thì phương trình (*) có nghiệm kép \({A_1} = {A_2} = 12\). Do đó, \(x = y = 12\).

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là \(144{m^2}\) (khi đó mảnh vườn là hình vuông có cạnh 12m).