Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

Đề bài

Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích:

a) \({x^2} + 5x = 0\);

b) \({x^2} - 16 = 0\);

c) \({x^2} - 10x + 25 = 0\);

d) \({x^2} + 8x + 12 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} + 5x = 0\)

\(x\left( {x + 5} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x + 5 = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x =  - 5\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0\); \(x =  - 5\).

b) \({x^2} - 16 = 0\)

\(\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

\(x - 4 = 0\) hoặc \(x + 4 = 0\)

\(x = 4\) hoặc \(x =  - 4\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 4\); \(x =  - 4\).

c) \({x^2} - 10x + 25 = 0\)

\({x^2} - 2.x.5 + {5^2} = 0\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} = 0\)

\(x - 5 = 0\)

\(x = 5\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 5\).

d) \({x^2} + 8x + 12 = 0\)

\({x^2} + 2x + 6x + 12 = 0\)

\(x\left( {x + 2} \right) + 6\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\)

\(x + 2 = 0\) hoặc \(x + 6 = 0\)

\(x =  - 2\) hoặc \(x =  - 6\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x =  - 2\); \(x =  - 6\).

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 3\);

b) \({\left( {2 - 3x} \right)^2} = 5\).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 3\)

\(2x + 1 = \sqrt 3 \) hoặc \(2x + 1 =  - \sqrt 3 \)

\(x = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - \sqrt 3  - 1}}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}\);\(x = \frac{{ - \sqrt 3  - 1}}{2}\).

b) \({\left( {2 - 3x} \right)^2} = 5\)

\(2 - 3x = \sqrt 5 \) hoặc \(2 - 3x =  - \sqrt 5 \)

\(x = \frac{{2 - \sqrt 5 }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{2 + \sqrt 5 }}{3}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{2 - \sqrt 5 }}{3}\);\(x = \frac{{2 + \sqrt 5 }}{3}\).

Đề bài

Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn, giải các phương trình bậc hai sau:

a) \({x^2} + 2x - 5 = 0\);

b) \(4{x^2} - 4\sqrt 3 x + 3 = 0\);

c) \({x^2} - 6\sqrt 5 x + 7 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 5} \right) = 6 > 0,\sqrt {\Delta '}  = \sqrt 6 \)  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{1} =  - 1 - \sqrt 6 ;{x_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{1} =  - 1 + \sqrt 6 \).

b) Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} - 4.3 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

c) Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 3\sqrt 5 } \right)^2} - 7.1 = 38 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 3\sqrt 5  + \sqrt {38} ;{x_2} = 3\sqrt 5  - \sqrt {38} \).

Đề bài

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) \(2{x^2} + \sqrt {11} x - 1 = 0\);

b) \(\frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{3}x + \frac{{50}}{9} = 0\);

c) \(\sqrt 2 {x^2} - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)x + 11 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - \sqrt {11}  - \sqrt {19} }}{4}\); \({x_2} = \frac{{ - \sqrt {11}  + \sqrt {19} }}{4}\).

b) Phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình vô nghiệm.

Đề bài

Tùy theo các giá trị của m, hãy giải phương trình ẩn x sau: \({\left( {2x - 1} \right)^2} = m\).

Lời giải chi tiết

\({\left( {2x - 1} \right)^2} = m\) (1)

Với \(m < 0\) thì phương trình (1) vô nghiệm.

Với \(m = 0\) thì phương trình (1) trở thành: \({\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\) nên \(x = \frac{1}{2}\).

Với \(m > 0\) thì phương trình (1) trở thành: \({\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt m } \right)^2}\)

\(2x - 1 = \sqrt m \) hoặc \(2x - 1 =  - \sqrt m \)

\(x = \frac{{\sqrt m  + 1}}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - \sqrt m  + 1}}{2}\).

Đề bài

Cho phương trình (ẩn x): \({x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 4{m^2} - 3 = 0\).

a) Tính biệt thức \(\Delta '\).

b) Tìm điều kiện của m để phương trình:

- Có hai nghiệm phân biệt;

- Có nghiệm kép;

- Vô nghiệm.

Lời giải chi tiết

\({x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 4{m^2} - 3 = 0\) (1)

a) Ta có:

\(\Delta ' = {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( {4{m^2} - 3} \right) = 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} + 3 = 8m + 7\).

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0\), tức là \(8m + 7 > 0\), suy ra \(m > \frac{{ - 7}}{8}\).

Phương trình (1) có nghiệm kép khi \(\Delta ' = 0\), tức là \(8m + 7 = 0\), suy ra \(m = \frac{{ - 7}}{8}\).

Phương trình (1) vô nghiệm khi \(\Delta ' < 0\), tức là \(8m + 7 < 0\), suy ra \(m < \frac{{ - 7}}{8}\).

Đề bài

Quỹ đạo chuyển động của một quả bóng được cho bởi công thức \(y = 1,5 + x - 0,098{x^2}\), trong đó y (mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất và x (mét) là khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí ném (xem hình bên). Tính khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ném bóng đến vị trí quả bóng chạm đất.

Lời giải chi tiết

Vật chạm đất khi \(y = 0\), tức là \(1,5 + x - 0,098{x^2} = 0\)

Vì \(\Delta  = {1^2} - 4.1,5.\left( { - 0,098} \right) = 1,588 > 0\). Vì \(x > 0\) nên \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt {1,588} }}{{2.\left( { - 0,098} \right)}} \approx 11,53\).

Vậy khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ném bóng đến vị trí bóng chạm đất là khoảng 11,53m.

Đề bài

Công ty sản xuất ván gỗ cần ước tính chiều dài tấm ván (tính bằng feet) có thể tạo ra được từ một khúc gỗ. Một trong những công thức được sử dụng phổ biến để ước tính chiều dài tấm ván là công thức Doyle: \(B = \frac{L}{{16}}\left( {{D^2} - 8D + 16} \right)\),

trong đó B là chiều dài tấm ván (feet), D là đường kính (inch) và L là chiều dài của khúc gỗ (feet).

a) Viết lại công thức Doyle cho các khúc gỗ dài 16 feet.

b) Tìm các nghiệm của phương trình bậc hai ẩn D sau: \({D^2} - 8D + 16 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Thay \(L = 16\) vào công thức \(B = \frac{L}{{16}}\left( {{D^2} - 8D + 16} \right)\) ta có: \(B = \frac{{16}}{{16}}\left( {{D^2} - 8D + 16} \right) = {D^2} - 8D + 16\).

b) \({D^2} - 8D + 16 = 0\)

\({D^2} - 2.4.D + {4^2} = 0\)

\({\left( {D - 4} \right)^2} = 0\)

\(D - 4 = 0\)

\(D = 4\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(D = 4\).