Bài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Đề bài

Thể tích V của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình vuông và chiều cao 5cm là một hàm số của độ dài cạnh đáy a (cm).

a) Viết công thức của hàm số này và tính độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ nếu biết thể tích bằng \(180c{m^3}\).

b) Nếu độ dài cạnh a của hình vuông đáy tăng lên hai lần thì thể tích V của khối lăng trụ thay đổi như thế nào?

Lời giải chi tiết

a) Công thức tính thể tích của hình lăng trụ là: \(V = 5.{a^2}\) \(\left( {c{m^3}} \right)\).

Với \(V = 180c{m^3}\), ta có: \(180 = 5{a^2}\) nên \(a = \sqrt {\frac{{180}}{5}}  = 6\left( {cm} \right)\).

b) Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên hai lần thì thể tích của hình lăng trụ mới là: \(V' = 5.{\left( {2a} \right)^2} = 20{a^2} = 4V\)

Vậy khi độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình lăng trụ tăng lên 4 lần.

Đề bài

Cầu treo Sunshine Skyway bắc qua Vịnh Tampa ở bang Florida (Mỹ) được hỗ trợ bởi 21 dây cáp làm bằng thép, mỗi dây có đường kính 9inch. Khối lượng mà mỗi dây cáp có thể chịu được là \(w = 8{d^2}\) (tấn), trong đó d là đường kính của dây cáp (tính bằng inch) (Theo Algebra 2, NXB McGraw-Hill, 2018).

a) Tính khối lượng tối đa mà cây cầu treo có thể chịu đựng được.

b) Nếu muốn cây cầu treo có thể chịu được khối lượng là 15 162 tấn thì đường kính của dây cáp phải là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Khối lượng tối đa mà cây cầu treo có thể chịu đựng được là: \(21w = {21.8.9^2} = 13\;608\) (tấn).

Khối lượng tối đa mà cây cầu treo có thể chịu đựng được là 13 608 tấn.

b) Để cây cầu treo có thể chịu được khối lượng là 15 162 tấn thì: \(15\;162 = 21.8.{d^2}\) nên \(d = \sqrt {\frac{{15\;162}}{{168}}}  = 9,5\left( {inch} \right)\) (do \(d > 0\)).

Vậy muốn cây cầu treo có thể chịu được khối lượng là 15 162 tấn thì đường kính của dây cáp bằng 9,5inch.

Đề bài

Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ v của gió, tức là \(F = a{v^2}\) (a là hằng số). Biết rằng khi tốc độ gió bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một chiếc thuyền bằng 120N.

a) Tính hằng số a.

b) Hỏi khi tốc độ gió \(v = 15m/s\) thì lực thổi F của gió bằng bao nhiêu?

c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12 000N, hỏi chiếc thuyền đó có thể đi được trong gió bão với tốc độ gió 90km/h không?

Lời giải chi tiết

a) Thay \(v = 2m/s,F = 120N\) vào \(F = a{v^2}\), ta được: \(120 = a{.2^2}\), suy ra \(a = 30\). Vậy \(F = 30{v^2}\left( N \right)\).

b) Khi \(v = 15m/s\), ta có lực thổi của gió là \(F = {30.15^2} = 6\;750\left( N \right)\).

c) Đổi \(90km/h = 25m/s\). Khi đó, lực thổi tương ứng của gió là: \(F = {30.25^2} = 18\;750\left( N \right)\).

Do cánh buồm chịu được một áp lực tối đa là 12 000N nên chiếc thuyền này không thể đi trong gió bão với tốc độ gió 90km/h.

Đề bài

Xác định hệ số a của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\), biết đồ thị của hàm số đi qua điểm:

a) \(A\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\);

b) \(B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(A\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\) nên ta có: \( - \frac{3}{2} = a.{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2}\),

suy ra \(\frac{1}{4}a = \frac{{ - 3}}{2}\) nên \(a =  - 6\).

b) Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\) nên ta có: \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} = a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\),

suy ra \(\frac{1}{4}a = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) nên \(a = \sqrt 3 \).

Đề bài

Trong hình bên có đồ thị của ba hàm số \(y =  - 2{x^2},y = {x^2},y = 2{x^2}\).

a) Cho biết đường nào là đồ thị của hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

b) Trong hai đường còn lại, với mỗi x hãy so sánh hai giá trị tương ứng của y để phân biệt đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = 2{x^2}\).

Lời giải chi tiết

a) Đường cong nằm phía dưới trục hoành Ox là đồ thị của hàm số \(y =  - 2{x^2}\) nên đường \({y_1}\) là đồ thị của hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

b) Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = {x^2}\) ta có: \(y = {2^2} = 4\) nên điểm (2; 4) thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^2}\). Do đó, đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\) là đường thẳng \({y_2}\).

Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\) ta có: \(y = {2.2^2} = 8\) nên điểm (2; 8) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\). Do đó, đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}\) là đường thẳng \({y_3}\).

Đề bài

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ parabol (P): \(y =  - {x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = x - 2\). Dùng đồ thị xác định tọa độ các giao điểm của hai đường này.

Lời giải chi tiết

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

Đường thẳng d đi qua hai điểm (0; -2) và (2; 0).

Đồ thị của hai hàm số \(y =  - {x^2}\) và \(y = x - 2\).

Từ hình vẽ ta có, giao điểm của hai đường này là M(-2; -4) và N(1; -1).

Đề bài

Vẽ đồ thị của hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ: \(y = 0,75{x^2};y =  - 0,75{x^2}\).

Có nhận xét gì về vị trí của hai đồ thị này so với trục hoành Ox?

Lời giải chi tiết

Lập bảng giá trị của hai hàm số \(y = 0,75{x^2}\) và \(y =  - 0,75{x^2}\):

Ta vẽ được đồ thị của hai hàm số này như sau:

Ta nhận thấy đồ thị hai hàm số này đối xứng nhau qua trục hoành Ox.

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\).

a) Chứng tỏ rằng nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm thuộc đồ thị hàm số thì điểm \(\left( { - {x_0};{y_0}} \right)\) cũng nằm trên đồ thị hàm số đó.

b) Chứng minh rằng \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2}\). Suy ra: \({y_o} = ax_o^2\).

Ta có: \({y_o} = ax_o^2 = a{\left( { - {x_o}} \right)^2}\). Do đó, điểm \(\left( { - {x_0};{y_0}} \right)\) cũng nằm trên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2}\).

b) Ta có: \(f\left( { - x} \right) = a{\left( { - x} \right)^2} = a{x^2} = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).