Bài 17. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Đề bài

Hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm) có vị trí tương đối như thế nào trong mỗi trường hợp sau:

a) \(OO' = 4cm\)?

b) \(OO' = 5cm\)?

c) \(OO' = 6cm\)?

Lời giải chi tiết

a) Vì \(3 - 2 < OO' < 3 + 2\) nên hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm) cắt nhau.

b) Vì \(OO' = 3 + 2\) nên hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm) tiếp xúc ngoài nhau.

c) Vì \(OO' > 3 + 2\) nên hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm) không giao nhau (ngoài nhau).

Đề bài

Vẽ hình và chứng minh phần b của Ví dụ 2.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) và dây AB không là đường kính của (O).
a) Gọi O' là một điểm tùy ý nằm giữa O và A. Đường thẳng đi qua O' và song song với OB cắt AB tại C. Hãy xác định vị trí tương đối của (O) và (O'; O'C).
b) Vị trí tương đối của (O) và (O'; O'C) sẽ như thế nào nếu O' thẳng hàng với O và A, nhưng nằm ngoài đoạn OA?

Lời giải chi tiết

Trường hợp 1: O và O’ nằm cùng phía với A (O nằm giữa O’ và A).

Vì CO’//OB nên $\Delta O'AC\backsim \Delta OAB$.

Vì OA=OB nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, tam giác O’AC cân tại O’ và \(O'C = O'A\).

Lại có: \(OO' = O'A - OA = O'C - OA\). Do đó, đường tròn (O’; O’C) tiếp xúc trong với đường tròn (O; OA).

Trường hợp 2: O và O’ nằm khác phía với A (A nằm giữa O’ và O).

Vì CO’//OB nên $\Delta O'AC\backsim \Delta OAB$.

Vì OA=OB nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, tam giác O’AC cân tại O’ và \(O'C = O'A\).

Lại có: \(OO' = O'A + OA = O'C + OA\). Do đó, đường tròn (O’; O’C) tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; OA).

Đề bài

Cho điểm A và đường tròn (O; R) sao cho \(R < OA < 3R\).

a) Chứng minh rằng đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R). Gọi B là một trong hai giao điểm của chúng.

b) Gọi C là điểm đối xứng với B qua O. Nối A với C cắt (O) tại D (khác C). Chứng minh rằng \(AD = DC\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(R < OA < 3R\) nên \(2R - R < OA < 2R + R\) nên đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R).

b) Do tính đối xứng của đường tròn và do C đối xứng với B qua O, ta có \(C \in \left( O \right)\).

Do đó, BC là một đường kính của (O; R).

Lại có, AB là một bán kính của (A; 2R).

Suy ra, \(BC = 2R = AB\).

Suy ra tam giác ABC cân tại B.

Mặt khác, tam giác BCD có DO là trung tuyến và \(DO = \frac{{BC}}{2}\) nên tam giác BCD vuông tại D.

Suy ra: \(BD \bot CD\).

Tam giác ABC cân tại B nên BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến. Do đó, \(AD = DC\).

Đề bài

Cho I là trung điểm của đoạn AB. Xét các đường tròn (I; IB) và (A; AB).

a) Hai đường tròn (I) và (A) nói trên có vị trí tương đối như thế nào?

b) Đường thẳng đi qua B, cắt các đường tròn (I) và (A) lần lượt tại C và D. Hãy so sánh các độ dài BC và CD.

Lời giải chi tiết

a) Vì I thuộc AB nên \(IA = AB - IB\) nên hai đường tròn (I; IB) và (A; AB) tiếp xúc trong.

b) Tam giác ABC có CI là đường trung tuyến và \(CI = IA = IB = \frac{1}{2}AB\) nên tam giác ACB vuông tại C. Do đó, \(AC \bot CB\).

Vì AB = AD (bằng bán kính của (A; AB)) nên tam giác ABD cân tại A.

Do đó, AC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến trong tam giác ABD. Do đó, \(BC = CD\).

Đề bài

Cho tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau. Gọi A’ là giao điểm khác A của hai đường tròn đó.

b) Chứng minh rằng A và A’ đối xứng nhau qua BC.

c) Biết rằng \(AA' = 24cm,AB = 15cm\) và \(AC = 13cm\). Tính độ dài BC.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC ta có:

\(\left| {AB - AC} \right| < BC < AB + AC\) nên hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau.

b) Tam giác ABC và tam giác A’BC có: \(AC = A'C,AB = A'B\), BC chung nên \(\Delta ABC = \Delta A'BC\left( {c.c.c} \right)\).

Suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {A'BC}\) .

Do đó, BC là phân giác của góc ABA’.

Vì \(AB = A'B\) nên tam giác AA’B cân tại B nên BC vừa là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của tam giác AA’B.

Suy ra, BC là đường trung trực của AA’ nên A và A’ đối xứng nhau qua BC.

c) Gọi D là giao điểm của BC và AA’.

Theo b ta có: \(AD = DA'\) và \(BC \bot AA'\) tại D.

Do đó, tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Vì \(AD = DA'\) nên \(AD = \frac{{AA'}}{2} = 12cm\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D ta có:

\(B{D^2} + A{D^2} = A{B^2}\) nên \(BD = \sqrt {A{B^2} - A{D^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACD vuông tại D ta có:

\(C{D^2} + A{D^2} = A{C^2}\) nên \(CD = \sqrt {A{C^2} - A{D^2}}  = \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}}  = 5\left( {cm} \right)\)

Vậy \(BC = BD + DC = 9 + 5 = 14\left( {cm} \right)\).