Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Đề bài

Cho đường tròn (O) và điểm P.

a) Giả sử \(P \in \left( O \right)\). Vẽ đường thẳng a đi qua P và vuông góc với OP. Chứng minh rằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P.

b) Giả sử P nằm ngoài (O). Vẽ đường tròn đường kính OP. Đường tròn vừa vẽ cắt (O) tại A và B. Chứng minh rằng PA và PB là hai tiếp tuyến của (O).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(P \in \left( O \right)\) và \(a \bot OP\) tại P nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P.

b) Gọi I là trung điểm của OP. Suy ra, bốn điểm O, A, P, B thuộc đường tròn tâm I, đường kính OP.

Tam giác OBP có BI là đường trung tuyến và \(BI = IP = OI = \frac{1}{2}OP\) nên tam giác OBP vuông tại B. Do đó, \(OB \bot BP\) tại B.

Vì B thuộc (O) và \(OB \bot BP\) tại B nên PB là tiếp tuyến của (O) tại B.

Tam giác OAP có AI là đường trung tuyến và \(AI = IP = OI = \frac{1}{2}OP\) nên tam giác OAP vuông tại A. Do đó, \(OA \bot AP\) tại A.

Vì A thuộc (O) và \(OA \bot AP\) tại A nên PA là tiếp tuyến của (O) tại A.

Đề bài

Cho đường thẳng a, điểm M thuộc a và số dương R.

Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với a. Trên b xác định điểm A sao cho \(AM = R\) (đvđd). Chứng minh rằng đường tròn (A; R) tiếp xúc với a tại M. Ta có thể vẽ được mấy đường tròn như thế?

Lời giải chi tiết

Vì M thuộc đường tròn (A; R) và \(a \bot AM\) tại M nên đường tròn (A; R) tiếp xúc với a tại M.

Vì có hai điểm (A và A’) thuộc đường thẳng b và cách M một khoảng bằng R nên có hai đường tròn thỏa mãn bài toán.

Đề bài

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A).

a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O);

b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và \(\widehat {MAB} = {60^o}\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.

Tam giác AOH và tam giác BOH có:

OH chung, \(OA = OB\), \(\widehat {OHA} = \widehat {BHO} = {90^o}\)

nên \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\)

nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\).

Tam giác AOM và tam giác BOM có:

OM chung, \(OA = OB\), \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)

nên \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\)

nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .

Do đó, \(MB \bot OB\) tại B.

Do đó, MB là tiếp tuyến của (O).

b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên \(MA = MB\).

Do đó, tam giác MAB cân tại M.

Mà \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều.

Do đó, \(\widehat {AMB} = {60^o}\).

Tứ giác AOBM có:

\(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\)

Suy ra:

\(\widehat {AOB} = {360^o} - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO}} \right) \\= {360^o} - \left( {{{90}^o} + {{90}^o} + {{60}^o}} \right) = {120^o}\)

Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên sđ$\overset\frown{AB}$_nhỏ \( = {120^o}\).

Do đó, diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

\({S_q} = \frac{{120}}{{360}}.\pi {.3^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OM là phân giác của góc AOB nên \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).

Tam giác MOA vuông tại A nên

\(AM = AO.\tan \widehat {AOM} = 3.\tan {60^o} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

Vì \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {cmt} \right)\)

nên \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} \) \(= \frac{1}{2}OA.AM = \frac{1}{2}.3.3\sqrt 3  \) \( = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\).

Do đó diện tích tứ giác AOBM là:

\({S_{AOBM}} = 2{S_{\Delta AMO}} = 9\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là:

\(S = {S_{AOBM}} - {S_q} = 9\sqrt 3  - 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Đề bài

Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O), trong đó M và N là hai tiếp điểm. Gọi E là một điểm thuộc cung nhỏ MN. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt AM tại B và cắt AN tại C. Biết \(AB = 10cm\), \(AC = 7cm\) và \(BC = 6cm\). Tính độ dài của các đoạn thẳng AM, AN, BM và CN.

Lời giải chi tiết

Vì AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên \(AM = AN\).

Vì BM và BE là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên \(BM = BE\).

Vì CE và CN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên \(CE = CN\).

Ta có:

\(AM + AN = AB + BM + AC + CN \)

\(= AB + BE + AC + CE = AB + AC + \left( {BE + CE} \right)\)

\( = AB + AC + BC\)

Suy ra \(2AM = 10 + 7 + 6 = 23\left( {cm} \right)\) nên \(AM = AN = 11,5\left( {cm} \right)\)

\(BM = AM - AB = 11,5 - 10 = 1,5\left( {cm} \right),\)

\(CN = AN - AC = 11,5 - 7 = 4,5\left( {cm} \right)\).

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH;

b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A);

c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A);

d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết \(HB = 2cm\) và \(HC = 4,5cm\).

Lời giải chi tiết

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên \(AH \bot BC\) tại H. Mà H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.

b) Vì M đối xứng với H qua AB nên \(AM = AH\) và \(BM = BH\), AB chung nên \(\Delta AMB = \Delta AHB\left( {c.c.c} \right)\).

Do đó, \(\widehat {AMB} = \widehat {AHB} = {90^o}\).

Lại có \(AM = AH\) nên M thuộc đường tròn (A).

Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.

Vì N đối xứng với H qua AC nên \(CN = CH\) và \(AH = AN\), AC chung nên \(\Delta ANC = \Delta AHC\left( {c.c.c} \right)\).

Do đó, \(\widehat {ANC} = \widehat {AHC} = {90^o}\).

Lại có \(AH = AN\) nên N thuộc đường tròn (A).

Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.

c) Vì \(\Delta AMB = \Delta AHB\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {MAB} = \widehat {HAB}\).

Vì \(\Delta ANC = \Delta AHC\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {NAC} = \widehat {HAC}\).

Vì \(AH \bot BC\) tại H nên \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = {90^o}\).

Do đó, \(\widehat {MAB} + \widehat {HAB} + \widehat {NAC} + \widehat {HAC} \) \(= 2\left( {\widehat {HAB} + \widehat {HAC}} \right) \) \(= {2.90^o} = {180^o}\)

Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Mà \(AM = AN\left( { = AH} \right)\) nên MN là đường kính của (A).

d) Vì MB và BH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B của (A) nên \(BM = BH\).

Vì CN và CH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (A) nên \(CN = CH\). 

Do đó, \(BM + CN = BH + CH = 2 + 4,5 = 6,5\left( {cm} \right)\).

Ta có:

\(\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = \widehat {ACH} + \widehat {ABC}\\\left( { = {{90}^o}} \right)\) nên \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\).

Mà \(\widehat {BHA} = \widehat {CHA} = {90^o}\) nên $\Delta HBA\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)$

nên \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\),

suy ra \(A{H^2} = BH.CH = 4,5.2 = 9\).

Suy ra \(AH = 3cm\).

Do đó, \(MN = 2AH = 6cm\).

Ta có: \(BM \bot MN,CN \bot MN\) nên BM//NC.

Do đó, tứ giác BMNC là hình thang vuông.

Diện tích hình thang BMNC là:

\(S = \frac{1}{2}MN\left( {BM + CN} \right) = \frac{1}{2}.6.6,5 = 19,5\left( {c{m^2}} \right)\).